Обчислення конструкцій: стиснути вираз до його найменшої форми

Я знаю, що обчислення конструкцій сильно нормалізується, тобто кожен вираз має нормальне значення, яке не може бути бета-ета-зменшено далі. Тож насправді це найефективніший вираз, який обчислює те саме значення, що й вихідний вираз.

Але в певних випадках нормалізація може зменшити невеликий вираз до величезного вираження (з точки зору розміру).

Чи є найменша форма виразів? Форма, яка обчислює однакове значення з найменшим розміром.

Іншими словами, замість ефективної у часі нормальної форми, просторової.

Трохи свободи в тому, що ми вважаємо "однаковою цінністю". Дозвольте мені показати, що такого алгоритму не існує, якщо "однакове значення" означає "спостережно еквівалент". Я буду використовувати фрагмент обчислення конструкцій, а саме систему Gödel T (просто набрав -рахунок, натуральні числа та примітивну рекурсію на них), тому аргумент застосовується до значно слабшого числення.$\lambda$

Дано число , нехай ¯ n - відповідна цифра, що представляє його, тобто n додатків s u c c до 0 . Враховуючи махін Тюрінга M , нехай ⌈ M some є числом, що кодує M, у певний розумний спосіб.$n$$\overline{n}$$n$$\mathtt{succ}$$0$$M$$\lceil M \rceil$$M$

Скажімо , що дві замкнуті умови будуть еквівалентні , написані т ≃ U , коли для всіх п ∈ N , $t, u : \mathtt{nat} \to \mathtt{nat}$$t \simeq u$$n \in \mathbb{N}$ і$t \, \overline{n}$ обидва нормалізуються на одне число (вони нормалізуються до числа, оскільки ми перебуваємо в сильно нормалізуючому члені).$s \, \overline{n}$

Припустимо, у нас був алгоритм, який задає будь-який закритий термін типу обчислює мінімальний еквівалентний термін. Тоді ми можемо вирішити оракул Халтінг наступним чином.$\mathtt{nat} \to \mathtt{nat}$

Існує термін такий, що для всіх n ∈ N та всіх машин Тюрінга M , S ( ⌈ M ⌉ , ¯ n ) нормалізується до ¯ 1, якщо T зупиняється протягом n кроків , і в нормі він нормалізується до ¯ 0 . Це добре відомо, оскільки моделювання машини Тьюрінга за фіксовану кількість кроків n є примітивною рекурсивною.$S : \mathtt{nat} \times \mathtt{nat} \to \mathtt{nat}$$n \in \mathbb{N}$$M$$S (\lceil M \rceil, \overline{n})$$\overline{1}$$T$$n$$\overline{0}$$n$

Існує кінцево багато замкнених доданків які є мінімальними членами, еквівалентними λ x : n a t$Z_1, \ldots, Z_k$ . Наш алгоритм мінімізації повертає один з них, коли ми даємо йому λ x : n a t$\lambda x : \mathtt{nat} .\, 0$ , і навіть може бути так, що λ x : n a t$\lambda x : \mathtt{nat} .\, 0$ насправді єдиний такий мінімальний термін. Все це не має значення, єдине, що має значення, це те, що існує кінцево багато мінімальних термінів, еквівалентних λ x : n a t$\lambda x : \mathtt{nat} .\, 0$ .$\lambda x : \mathtt{nat} .\, 0$

Тепер, задавши будь-яку машину , розглянемо термін u : = λ x : n a t$M$ Якщо M працює вічно, то u ¯ n нормалізується до ¯ 0 для кожного n і еквівалентно λ x : n a t

$$u \mathbin{{:}{=}} \lambda x : \mathtt{nat} .\, S (\lceil M \rceil, x)$$ $M$$u \overline{n}$$\overline{0}$$n$ . Щоб вирішити, чипрацює M вічно, ми подаємо u в наш алгоритм мінімізації і перевіряємо, чи алгоритм повернув один із Z 1 , … , Z k . Якщо це сталося, то М працює назавжди. Якщо цього не сталося, то воно зупиняється. (Примітка: алгоритм не повинен обчислювати Z 1 , ... , Z k сам по собі, вони можуть бути жорстко закодовані в алгоритм.)$\lambda x : \mathtt{nat} .\, 0$$M$$u$$Z_1, \ldots, Z_k$$M$$Z_1, \ldots, Z_k$

Було б непогано знати аргумент, який працює зі слабшим поняттям еквівалентності, наприклад, просто зводимість.$\beta$

Як сказав Андрій, проблема не може бути вирішена, якщо ви дозволяєте замінювати один термін іншим, рівним за часом. Тим НЕ менше, ви можете бути зацікавлені в оптимальному обміні виразів, в наступному сенсі: з урахуванням скорочення , ясно , що входження терміна у можуть бути спільно в пам'яті , і кожне зменшення, застосоване до одного, може бути застосоване до іншого.

$$(\lambda x:T.C\ x\ x)\ u\rightarrow_\beta C\ u\ u$$ $u$

У цьому сенсі відомо, як оптимально зменшити нетипізовані терміни, максимально зменшивши спільний доступ. Це пояснюється тут: https://stackoverflow.com/a/41737550/2059388, а відповідною цитатою є алгоритм Дж. Лампінга для оптимального зменшення обчислення лямбда . Мало сумнівів, що теорему про нетипізований обчислення можна поширити на CIC.

Іншим відповідним питанням є кількість інформації про тип, яку можна стерти при здійсненні перетворення типу, або, як саме зробити ефективне перетворення, що є активною сферою дослідження, див., Наприклад , тезу Мішра-Лінгера .

Дозвольте наполягати на точці зору, яку торкнулася відповідь Коді.

Наскільки це бачимо, питання пошуку найменшого -терміна, еквівалентного іншому λ -термі, насправді не цікавий, навіть якби в ньому був алгоритм, який його обчислює. Насправді, більшість програм, які ви пишете в λ -калькуляції (або що б не було числення λ -куби), вже перебувають у нормальній формі, або, принаймні, у голові нормальної форми, тому вони вже є "найменшими" у тому сенсі, який ви описуєте. Крім того, бути "маленьким" не означає бути більш ефективним, як обговорювалося в цьому питанні .$\lambda$$\lambda$$\lambda$$\lambda$

$M$$f$

$$M\,\overline{x}\to^{l(|x|)}\overline{f(x)}$$ $l(|x|)$$l(n)=O(n^k)$$k$$f$

$\lambda$$\Theta(n)$$\Theta(2^n)$$\lambda$$\lambda$

$\lambda$$\lambda$

$\lambda$

Цей самий синтаксис може бути використаний для доведення того, що, на відміну від наївної інтуїції, відповідь на вищезазначене питання - це дійсно: кількість крайніх лівих кроків до нормальної форми є розумною мірою витрат, навіть якщо розмір вибухає, оскільки насправді існує інший спосіб представлення того ж обчислення (з використанням лінійних явних підстановок), в якому:

1. розмір не вибухає;
2. $\lambda$

Це все пояснено у статті Accattoli та Dal Lago "Скорочення бета-версії є дійсно інваріантним" (LICS 2014, і тоді я думаю, що є новіша версія журналу).

$\lambda$