Скажімо, у нас є властивість графа, яку можна перевірити в недетермінований поліном час, і доказ у слабкій формальній системі (скажімо, RCA 0 ), що властивість є другорядним закритим. Чи можна сказати що-небудь про силу формальної системи, яка здатна довести, що дана кінцева сукупність виключених неповнолітніх характеризує задану властивість графа?
Контекст Добре відомо, що вже проста версія (без чітко впорядкованого набору міток) теореми про Крускала є невиправданою в ATR 0, а теорема другорядних графів є узагальненням цієї теореми, що навіть не можна довести в Π 1 1 -CA 0 . Фрідман використав цю просту версію теореми про Крускала, щоб побудувати функцію TREE (n) , що швидко зростає , і використав теорему другорядних графіків для побудови ще швидше зростаючої функції SSCG (n) . Це хороші демонстрації висновків про обчислювальний зміст із зворотної математичної сили, але вони залишають без прямого питання, поставленого вище, без відповіді.
А саме, пов'язана з теоремою другорядних графів є доказом того, що незначні закриті властивості можна перевірити в детермінований кубічний час, якщо відомий список виключених неповнолітніх для цієї властивості. Отже, природно дивуватися, наскільки «неможливо» довести, що хтось виявив усіх виключених неповнолітніх для даного «легкого» (про що уточнено в питанні) неповнолітнього закритого майна. Оскільки це "нерівномірне" завдання, мені незрозуміло, чи "неможливість" цього завдання взагалі пов'язана з "складністю" (тобто зворотною математичною силою) доведення самої теореми другорядних графів.
Оскільки простий варіант теореми про Крускала ставить абсолютно ті ж запитання, що й теорема другорядних графів, відповіді можуть зосередитись на тій простішій задачі, якщо вони хочуть. Я щойно використав теорему другорядних графів, тому що питання таким чином виглядає природніше. (Можливо, що це питання могло б бути більш придатним для MSE або MSO, принаймні, щодо отримання однозначної відповіді. Але мотивація цього питання більше стосується TCS, тому я вирішив його задати тут.)