Бінарний вектор в над для всіх простих сил в над ?

У мене є набір двійкових векторів і цільовий вектор який - вектор всіх. $n$ $S = \{s_1, \ldots, s_n \} \subseteq \{0,1\}^k \setminus \{1^k\}$ $t = 1^k$

Концепція: Якщо можна записати як лінійну комбінацію елементів над для всіх простих сил , то можна записати як лінійну комбінацію над , тобто існує лінійна комбінація з цілими коефіцієнтами, яка дорівнює над . $t$ $S$ $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$ $q$ $t$ $S$ $\mathbb{Z}$ $t$ $\mathbb{Z}$

Це правда? Це комусь здається знайомим? Я навіть не впевнений, які ключові слова використовувати під час пошуку літератури на цю тему, тому будь-який вклад оцінюється.

Зауважте, що зворотне звичайно має місце: якщо для цілих чисел , то оцінювання тієї ж суми mod для будь-якого модуля все ж дає рівність; отже, лінійна комбінація з цілими коефіцієнтами передбачає існування лінійної комбінації для всіх модулів. $t = \sum_{i=1}^n \alpha_i s_i$ $a_i$ $q$ $q$

Редагувати 14-12-2017 : гіпотеза спочатку була сильнішою, стверджуючи існування лінійної комбінації над коли є лінійною комбінацією mod для всіх простих рівнів . Це було б простіше використовувати в моєму алгоритмічному застосуванні, але виявляється хибним. Ось зустрічний приклад. задаються рядками цієї матриці: $\mathbb{Z}$ $t$ $q$ $q$ $s_1, \ldots, s_n$

$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$

Mathematica підтвердив, що вектор знаходиться в проміжку цих векторів mod для перших 1000 простих чисел, що я вважаю достатнім доказом того, що це стосується всіх простих прайменів. Однак не існує цілолінійної лінійної комбінації над : матриця вище має повний ранг над та унікальний спосіб записати як лінійну комбінацію of over використовує коефіцієнти . (Ви не можете записати як лінійну комбінацію цих векторів mod $t = (1,1,1,1,1,1)$ $q$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{R}$ $(1,1,1,1,1,1)$ $(s_1, \ldots, s_6)$ $\mathbb{R}$ $(1/2, 1/2, 1/2, -1/2, -1/2, 1/2)$ $t$ $4$ , проте, це не суперечить оновленій формі припущення.)

reference-request linear-algebra finite-fields

— Барт Янсен
джерело

Наступний слабший властивість має аргумент простого компактності: - це раціональна лінійна комбінація елементів тоді і лише тоді, коли це лінійна комбінація над для всіх, окрім кінцево багатьох праймерів . Це справедливо більш загально, коли і мають цілі коефіцієнти, а не просто .

t

$t$

S

$S$

{G F}_{p}

$\mathrm{GF}_p$

p

$p$

S

$S$

t

$t$

0, 1

$0,1$

— Еміль Єржабек

Інший частковий результат (знову ж таки, для довільного цілого числа ): - ціла лінійна комбінація iff, це лінійна комбінація у кожному кільці для простих сил .

S, t

$S,t$

t

$t$

S

$S$

Z / q Z

$\mathbb Z/q\mathbb Z$

q

$q$

— Еміль Єржабек

@BartJansen Насправді я знаю два різних способи, але ні один із них не відповідає вмісту коментаря. Відповідь я опублікую пізніше.

— Еміль Єржабек

@JoshuaGrochow Я не дотримуюся. Якщо "досить велика" - це все, що вам потрібно, досить було б взяти досить великий розквіт. Або досить велика потужність фіксованого прайму. Жодне з них не передбачає існування розв’язків над цілими числами.

— Emil Jeřábek

Детермінанта вашої прикладної системи - -4, що передбачає рішення для всіх непарних простих.

— Крістофер Арнсфельт Хансен

Переглянута гіпотеза є вірною, навіть за послаблених обмежень на і - вони можуть бути довільними цілими векторами (доки множина є кінцевою). Зауважте, що якщо ми розмістимо вектори з в матрицю, питання просто задає питання про розв’язуваність лінійної системи у цілих числах, отже, я сформулюю задачу як таку нижче. $S$ $t$ $S$ $S$

S x = t

$Sx=t$

Пропозиція: Нехай і . Тоді лінійна система вирішується в тоді і тільки тоді, коли вона вирішується в для всіх простих сил . $S\in\mathbb Z^{k\times n}$ $t\in\mathbb Z^k$ $Sx=t$ $\mathbb Z$ $\mathbb Z/q\mathbb Z$ $q$

Це можна довести принаймні двома способами.

Доказ 1:

Для будь-якого простого , розв’язність модуля системи кожного означає, що вона вирішується в кільці -адичних цілих чисел . (Є незначна проблема в тому, що рішення не є унікальними, отже, задані рішення mod і mod не повинні бути сумісними. Це можна розібрати, наприклад, використовуючи компактність або використовуючи Лема Кеніга.) $p$ $p^m$ $p$ $\mathbb Z_p$ $p^m$ $p^{m'}$ $\mathbb Z_p$

Отже, система також вирішується у добутку тобто кільці вигідних цілих чисел . Я стверджую , що це тягне за собою її разрешимость в .

\hat{Z} = \prod_{p prime} Z_{p},

$\hat{\mathbb Z}=\prod_{p\text{ prime}}\mathbb Z_p,$

Z

$\mathbb Z$

Зауважте, що розв’язність системи (тобто ) виражається як (примітивне додатне) речення першого порядку мовою абелевих груп, доповнене константою щоб ми могли визначити . Тепер можна перевірити, що повну теорію споруди першого порядку можна аксіоматизувати наступним чином (це версія, яка не є замовленням арифметики Пресбургера , а точніше, теорії -групи): $\exists x\,Sx=t$ $1$ $t$ $(\mathbb Z,+,1)$ $\mathbb Z$

теорія абелінових груп без кручення,
аксіоми для кожного простого , $\forall x\,px\ne1$ $p$
аксіоми для кожного простого . $\forall x\,\exists y\,(x=py\lor x=py+1\lor\dots\lor x=py+(p-1))$ $p$

Однак усі ці аксіоми містяться і в . Таким чином, структури і елементарно еквівалентні, а розв'язність в передбачає його розв'язність у . $\hat{\mathbb Z}$ $(\mathbb Z,+,1)$ $(\hat{\mathbb Z},+,1)$ $Sx=t$ $\hat{\mathbb Z}$ $\mathbb Z$

Насправді нам насправді не потрібна повна аксіоматизація вище: достатньо помітити, що задовольняє аксіомам 2. Це означає, що є a сервантна з , і , отже, чистий подмодуль . $(\mathbb Z,+,1)$ $\hat{\mathbb Z}$ $\mathbb Z$ $\hat{\mathbb Z}$ $\mathbb Z$

Доказ 2:

Існують матриці та такі, що матриця знаходиться у нормальній формі Сміта . Поміщений . Якщо - рішення , то - це рішення , і, навпаки, якщо є рішенням , то - це рішення . (Ця еквівалентність стосується будь-якого комутативного кільця, оскільки є цілими матрицями.) $M\in\mathrm{GL}(k,\mathbb Z)$ $N\in\mathrm{GL}(n,\mathbb Z)$ $S'=MSN$ $t'=Mt$ $x$ $Sx=t$ $x'=N^{-1}x$ $S'x'=t'$ $x'$ $S'x'=t'$ $x=Nx'$ $Sx=t$ $M,M^{-1},N,N^{-1}$

Таким чином, ми можемо без втрати загальності припустити, що - діагональна матриця (це означає, що надлишки рядків або стовпців дорівнюють нулю, якщо ). Тоді система нерозв’язна в тільки якщо $S$ $k\ne n$ $Sx=t$ $\mathbb Z$

для деякого ненульового діагонального елемента з , відповідний запис з не ділиться на , або $s_{ii}$ $S$ $t_i$ $t$ $s_{ii}$
для деякого , то - я рядок дорівнює нулю, але . $i$ $i$ $S$ $t_i\ne0$

Нехай - сила, така що , і, в першому випадку, . Тоді система не розв'язна в . $q$ $q\nmid t_i$ $q\mid s_{ii}$ $Sx=t$ $\mathbb Z/q\mathbb Z$

— Еміль Єржабек
джерело

Дякую Емілю, що ви навчили мене чомусь новому та цікавому у вашому рішенні №1!

— Крістофер Арнсфельт Хансен

Дітто. Також цікаво, що друге рішення показує, що достатньо розглянути лише ті прайми, які ділять елементарні дільники (обробляти всі , у випадку (1)), а також одне досить велике число (для обробки випадок (2)).

S

$S$

s_{i i}

$s_{ii}$

— Джошуа Грохов

Велике спасибі за цю дуже проникливу відповідь! Я обов'язково визнаю ваші погляди, якщо це знайде шлях до статті.

— Барт Янсен