Параметризована складність включення звичайних мов

Мене цікавить класична проблема РЕГУЛЯЦІЙНЕ ВКЛЮЧЕННЯ МОВИ. Давши регулярний вираз $E$ , позначимо через $L(E)$ звичайну мову, пов'язану з ним. (Регулярні вирази знаходяться на фіксованому алфавіті $\Sigma$ , з об'єднанням операцій, зіркою Kleene та конкатенацією.)

Введення: Два регулярні вирази і E 2 Питання: Чи правда, що L ( E 1 ) ⊆ L ( E 2 ) ?$E_1$$E_2$
$L(E_1)\subseteq L(E_2)$

ВКЛЮЧЕННЯ РЕГУЛЯРНОЇ МОВИ, як відомо, є повним PSPACE [1].

Класичний спосіб її вирішення (в PSPACE) - побудувати NFAs і A 2, пов'язані з E 1 і E 2 , побудувати DFA D 2 з A 2 , доповнити його в DFA D C 2 і, нарешті, побудувати автомат перехрестя A P з A 1 і D C 2, відповідний перетину L ( E 1 ) і L ( E 2 ) $A_1$$A_2$$E_1$$E_2$$D_2$$A_2$$D_2^C$$A_P$$A_1$$D_2^C$$L(E_1)$$L(E_2)^C$. Тепер тоді і тільки тоді, коли в A P немає прийнятного шляху .$L(E_1)\subseteq L(E_2)$$A_P$

Якщо я не помиляюсь, весь процес може бути здійснений у поліноміальний час, коли є фіксованою мовою, оскільки єдине експоненціальне вибух відбувається від перетворення A 2 в D 2 . Ще краще, що проблема - FPT, коли параметризовано | Е 2 | , довжина E 2 .$E_2$$A_2$$D_2$$|E_2|$$E_2$

Це мотивує моє запитання:

Запитання: Коли - виправлений вираз, у чому полягає складність РЕГУЛЯРНОГО ВКЛЮЧЕННЯ МОВИ? Чи залишається він PSPACE-повним?$E_1$

[1] Л.Д. Стокмейер та А.Р. Мейєр. Проблеми зі словом, що вимагають експоненціального часу: попередній звіт. Праці п'ятого щорічного симпозіуму АСМ з теорії обчислень, STOC '73, стор. 1-9.

Зауваження: Будучи не експертом у цій галузі, я вважаю [1] (і пов'язані з цим папери того часу) досить нечитабельними, і не міг знайти іншого підтвердження повноти PSPACE - будь-якого вказівника на сучасний доказ, наприклад, у книга, дуже вітаємо! Також, здається, автори дозволяють проводити квадрати у своїх регулярних висловлюваннях, що, на сьогодні, я вважаю досить нестандартним.)

Конкретний випадок універсальності мови (чи всі слова прийняті?) Є PSPACE-повним для регулярних виразів або NFA. Він відповідає на ваше запитання: загалом проблема залишається повною PSPACE навіть для фіксованого , оскільки універсальність мови відповідає E 1 = Σ ∗ .$E_1$$E_1=\Sigma^*$

Дійсно важко знайти сучасний читабельний доказ твердості PSPACE для універсальності регулярного вираження, як це вважається фольклором. Ось швидка схема підтвердження, яка дозволяє відновити доказ:

---

Розглянемо машину Тьюринга на алфавіті Е з використанням полиномиального простору р ( п ) , і нехай W ∈ Е * вхідний слово для M . Ми побудуємо регулярний вираз e, який приймає всі слова, якщо і тільки тоді, коли у M немає прийнятого запуску на w .$M$$\Sigma$$p(n)$$w\in\Sigma^*$$M$$e$$M$$w$

Розглянемо мову що складається зі слів форми $ C 0 $ C 1 $ … $ C f $ , де кожен C i - конфігурація M довжиною рівно p ( n ) , C 0 - початкова конфігурація з w на стрічка, С F приймає, і кожен з з я → з я + 1 є допустимим перехід М . Слово в $L_M$$\$C_0\$ C_1\$\dots\$ C_f\$$$C_i$$M$$p(n)$$C_0$$w$$C_f$$C_i\to C_{i+1}$$M$ описує приймаючу пробіг M .$L_M$$M$

Ми будуємо на алфавіті Х ' = Е ∪ { $ } такі , що е приймає саме ті слова, які не в L M , подивившись за порушення визначення L M . Вираз e буде великою диз'юнкцією e 1 + e 2 + ⋯ + e k , де кожен e i шукає різного роду порушення. Наприклад, e 1 = ( Σ ′ ) ∗$e$$\Sigma'=\Sigma\cup\{\$\}$$e$$L_M$$L_M$$e$$e_1+e_2+\dots+e_k$$e_i$ шукає порушення того факту, що кожен C i має розмір саме p ( n ) . Найбільш хитра частина - здогадка про порушення між C i та C i + 1 : вираз може порівнювати локальну картину в C i та її зображення в C i + 1 , використовуючи

$$e_1=(\Sigma')^*\$(\Sigma^{<p(n)}+\Sigma^{>p(n)})\$(\Sigma')^*$$ $C_i$$p(n)$$C_i$$C_{i+1}$$C_i$$C_{i+1}$ , де t і t ′ - вирази для локальних шаблонів. Завдяки цьому ми можемо здогадатися про порушення функції переходу M за локальним малюнком або порушення тотожності поза цією схемою. Зрештою, отримуємо, що L ( e ) ≠ ( Σ ′ ) ∗  тоді і тільки тоді, коли  L M ≠ ∅  тоді і тільки тоді, коли  M  приймає $t(\Sigma')^{p(n)}t'$$t$$t'$$M$ $$L(e)\neq (\Sigma')^*\text{ if and only if }L_M\neq\emptyset\text{ if and only if $M$ accepts }w$$ Тому ми звели (поліноміально) довільну задачу PSPACE до універсальності регулярного виразу. Я залишив деякі деталі, але це повинно дати вам змогу скласти повний доказ.

---

Звичайно, як наголошував Майкл Вехар у коментарях, для інших проблема може стати простішою. Класифікація складності цієї проблеми широко вивчена в цій роботі [1] щодо еквівалентності, стримування та покриття. У цій відповіді ви можете ознайомитись з підсумками результатів проблеми еквівалентності (існують випадки, пов’язані з NP).$E_1$

$(\Sigma')^{p(n)}$$p(n)$$p(n)$

[1] Про еквівалентність, стримування та висвітлення проблем для регулярних і безконтекстних мов Гаррі Б. Гант, Даніель Дж. Розенкранц, Томас Г. Шиманський. Журнал комп'ютерних та системних наук. Том 12, випуск 2, квітень 1976 р., Сторінки 222-268

[2] Проблема еквівалентності для регулярних виразів з квадратуванням вимагає експоненціального простору . Мейєр, А.Р. та Л. Стокмейер. 13-й симпозіум IEEE з теорії комутації та автоматів, жовтень 1972, с.125–129.