Максимальна відповідність M умові G [M] не містить 2K_2

Чи є в літературі щось близько до такої проблеми:

Враховуючи двопартійний графік з збалансованим розподілом , чи існує досконала відповідність у така, що для кожні 2 ребра є край або край (або обидва) в ?$G(V,E)$$\{U,W\}$$M$$G$$u_1w_1, u_2w_2\in M$$u_1w_2$$u_2w_1$$G$

Іншими словами, чи існує досконала відповідність такою, що індукований підграф є -безкоштовно. (При збалансованому розподілі я мав на увазі .)$M$$G[M]$$2K_2$$|U|=|W|$

Додаткова умова - це щось на зразок протилежної крайності, що використовується в заданій відповідній задачі. Інша, можливо, пов'язана з цим проблема полягає у знаходженні максимального розміру у двопартійному графіку таким чином, що стискання ребер у мінімізує кількість ребер, залишених у графіку.$M$$G$$M$

Я перевірив перелік відповідних проблем, заданих Plummer у " Збігання та пакування вершин": наскільки вони "важкі"? без успіху.

PS: Ця проблема є окремим випадком цього рішення проблеми: - При заданому , існує максимальна відповідність двудольного графа така , що є -безкоштовно і . Якщо вхідний графік врівноважений двостороннім і, ми отримуємо вищевказану проблему.$k\in\mathbb{N}$$M$$G$$G[M]$$2K_2$$|M|>k$$k=|U|$

Дякую.

Сюрприз! (для мене).
Цей тип відповідностей вже вивчений у літературі. Їх називають сполученими відповідниками .

Вони були представлені Пламмером, Стібітцом і Тофтом у своєму дослідженні про здогадки Хадвігера. Дивіться розділ "З'єднані відповідники" Камерона в книзі "Комбінаторна оптимізація - Еврика, ти скорочуєшся!"

Стан з’єднаних співставлень у двосторонніх графіках (не обов'язково збалансований) відкритий наскільки мені відомо ( я повинен оновити ). Зважена версія задачі є NP-повною для двосторонніх графіків. Проблема полягає у вирішенні багаточленних часових діаграм для хордальних двопартійних графіків.

Оновлення: проблема не є повною для NP для збалансованих двосторонніх графіків (тобто точну проблему, задану в питанні). Це доведено в роботі " Багатозадачність ємності: результати твердості та вдосконалені конструкції " Alon et al. Вони також повідомляють, що знайти розмір найбільшої зв'язаної відповідності важко приблизно в коефіцієнті$n^{1-\epsilon}$ якщо NP = co-RP.

Примітки, додані раніше (зберігаються для зацікавлених людей):
" З'єднані відповідність у хордальних двопартійних графах " Джобсона та ін. (doi: https://doi.org/10.1016/j.disopt.2014.06.003 ) та " З'єднані відповідність у спеціальних сімействах графіків " Карагеніса (дипломна робота) - дві помітні посилання.

Є ще один спосіб поставити це питання. Чи є ідеальне узгодження$M$ збалансованого двостороннього графіка $G$ такі, що кожна пара ребер в $M$ знаходиться точно на відстані 1 один від одного в $G$?
(Відстань між ребрами$e$ і $e’$ - довжина найкоротшого шляху від вершини $e$ до вершини $e’$).

Завдяки цьому додаткова умова зводиться до знаходження підмножини вершин з лінійного графіка $L(G)$ з $G$які попарно на відстані рівно 2. Таким чином, проблема знаходження набору вершин максимального розміру на відстані рівно 2 одна від одної є проблемою кандидата (бути близькою до заданої проблеми). У недавній роботі про алгоритмічні аспекти сильної підбарвлення (М. А. Шалу, С. Віяякумар, С. Деві Яміні та Т. П. Сандхья) вони називають цю проблему сильним набором.

У деяких класах графів, як відомо, проблема набору стонгів є заповнена NP. Я не знаю його статусу на лінійних двосторонніх графіках. У роботі зазначено, що вона не є повною для двосторонніх графіків. Наш інтерес тут буде до класу лінійних двосторонніх графіків.