Проблеми з сумою квадратних коренів?

Проблема суми квадратних коренів задає дві послідовності і додатних цілих чисел, чи сума менша, дорівнює або більша ніж сума $a_1, a_2, \dots, a_n$ $b_1, b_2, \dots, b_n$ $\sum_i \sqrt{a_i}$ $\sum_i \sqrt{b_i}$ . Статус складності цієї проблеми є відкритим; див. цю публікацію для отримання більш детальної інформації. Ця проблема, природно, виникає в обчислювальній геометрії, особливо в задачах, що стосуються найкоротших шляхів Евкліда, і є вагомим каменем спотикання при перенесенні алгоритмів цих проблем з реальної ОЗУ до стандартної цілої ОЗП.

Назвіть задачу Π sum-of-square- root -hard (скорочено Σ√-hard?), Якщо є зменшення поліноміального часу від суми задачі квадратних коренів до Π. Не важко довести, що наступна проблема є сумою квадратних коренів:

Найкоротші шляхи в 4d евклідові геометричні графіки

Екземпляр: Графік , вершини якого є точками в , ребра зважені евклідовим дистаном; дві вершини і $G=(V,E)$ $\mathbb{Z}^4$ $s$ $t$

Вихід: Найкоротший шлях від до в . $s$ $t$ $G$

Звичайно, ця проблема може бути вирішена в поліноміальний час на реальній оперативній пам’яті за допомогою алгоритму Дейкстри, але кожне порівняння в цьому алгоритмі вимагає розв’язання задачі суми квадратних коренів. Зниження використовує той факт, що будь-яке ціле число може бути записане як сума чотирьох досконалих квадратів; вихід редукції насправді є циклом на вершини. $2n+2$

Які ще проблеми є суворими за рівнем квадратних коренів? Мене особливо цікавлять проблеми, щодо яких на реальній оперативній пам’яті є поліноміально-часове рішення. Дивіться моє попереднє запитання щодо однієї можливості.

Як пропонує Робін, нудні відповіді нудні. Для будь-якого класу складності X, який містить коріння суми квадратних коренів (наприклад, PSPACE або EXPTIME), кожна проблема X-hard є нудно сумою-квадрат-коріння-важко.

— Джефф
джерело

Дякуємо Сурешу та Петру за те, що вони запропонували це питання.

— Jeffε

Можливо, ви могли б також виключити тривіальні відповіді, наполягаючи, що відповіді не повинні бути просто проблемами, які важкі для класу, який, як відомо, містить проблему «Сума квадратних коренів». Наприклад, будь-яка складна проблема PSPACE була б складною за сумою квадратних коренів, але це, мабуть, не цікаво.

— Робін Котарі

Ви дійсно маєте на увазі

у своїй заяві про найкоротші шляхи, або

? Першому не здається, що він взагалі може використовувати цілу оперативну пам’ять, і, мабуть, проблема все ще Σ√-жорстке обмеження цілих точок ...

R^{4}

$\mathbb{R}^4$

Z^{4}

$\mathbb{Z}^4$

— Стівен Стадницький

@Steven: Так, ти маєш рацію. Відредаговано.

— Jeffε

Відповіді:

Про це було трохи сказано в наступному опитуванні (початковий слайд 21): http://homepages.inf.ed.ac.uk/kousha/games08_tutorial.pdf

в якому згадується Евклідова TSP, наближення фактичної рівноваги Неша та йдеться про класи PosSLP та FIXP.

— Нім
джерело

це захоплюючий зв’язок.

— Суреш Венкат

Це має бути коментар, оскільки це в основному нудна відповідь, але у мене недостатньо репутації.

Сума задач з квадратними коренями знаходиться в від [ABKM98] , тому будь-яка проблема, складна для цього класу, має необхідну властивість. Це робиться шляхом зменшення задачі суми квадратних коренів до заданої під назвою , визначеної як вирішення, чи пряма задача представляє додатне ціле число, так що проблема є сумою квадратних коренів важко. $P^{PP^{PP^{PP}}}$ $PosSLP$

[ABKM98]: Про складність чисельного аналізу Альендер, Бургіссер, Кельдгаард-Педерсен та Мільтерсен.

— Абель Моліна
джерело

Існує також таке вдосконалення [ mpi-inf.mpg.de/~csaha/Sum_sqrroot.pdf], яке ставить проблему в

а також доводить, що обмежена версія проблеми потребує поліноміального числа біт.

{C o R P}^{P P}

${CoRP}^{PP}$

— Ілля

@Elias: Чи можете ви докладно? З короткого погляду Каял і Саха, здається, обговорюють "поліноміальну версію" суми задачі квадратних коренів, яка пов'язана, але відрізняється від звичайної суми задачі квадратних коренів.

— Цуйосі Іто

@Abel: (1) Привіт Авель, радий бачити ваш пост! (2) Для чого це варто, [ABKM98] було фактично представлено на CCC 2006 та опубліковано у 2009 році . (3) Нудна відповідь не повинна бути коментарем, а повинна триматись у собі. Але я не думаю, що це нудна відповідь. :)

— Tsuyoshi Ito

a_{i}

$a_i$

a_{i} = \sum_{i} b_{i} j X^{d_{i} - j}

$a_i=\sum_i{b_ij}X^{d_i-j}$

X > (B + 1)^{(n d)^{O (1)}}

$X>(B+1)^{(nd)^{O(1)}}$

B = m a x {b_{i j}}

$B=max\{b_{ij}\}$

d = m a x {d_{i}}

$d=max\{d_i\}$

C o R P^{P P}

$CoRP^{PP}$