Які перешкоди поширенню на ?

Доказ Омер Рейнгольда , що дає алгоритм USTCON (В U ndirected граф зі спеціальними вершинами і , вони Con під'єднані?) , Використовуючи тільки logspace. Основна ідея полягає в тому, щоб побудувати графік розширювача з початкового графіка, а потім виконати прогулянку в графіку розширення. Графік розширювачів складається шляхом логарифмічного вирівнювання оригінального графіка у багато разів. У графіку розширювача діаметр є лише логарифмічним, тому достатньо пошуку в DFS логарифмічної глибини. $L=SL$ $s$ $t$

Розширення результату на означало б існування алгоритму журналу простору для DSTCON - того самого, але для D- графіків. (Іноді просто STCON.) Моє запитання, можливо, трохи м'яке - це які основні перешкоди для поширення доказів Рейнгольда до цього? $L=NL$

Це трохи схоже на те, що має бути якийсь графік "спрямований розширювач". Подібна конструкція, де ви додаєте ребра, що відповідають напрямкам середньої довжини, а потім деякі відповідні довгим; а потім ви можете пройти графік з логарифмічною глибиною, перемістившись короткими шляхами, щоб дістатися до довгої; потім повернутися до коротких стежок наприкінці.

Чи є основна вада в цій концепції? Або це не так, що немає хороших конструкцій таких розширювачів? Або йому якось потрібно більше пам’яті, ніж непряма версія?

На жаль, я не можу знайти багато чого на графіках спрямованого розширення. Фактично все, що я міг знайти, було /math/2628930/how-can-one-construct-a-directed-expander-graph-with-varying-degree-distribution (що не відповідає) та https://repository.upenn.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1202&context=cis_papers . Чи є інший термін, під яким я повинен шукати?

— Алекс Мейбург
джерело

У цьому документі дано деяке розуміння щодо поширення на : people.seas.harvard.edu/~salil/research/regular-abs.html

L = S L

$L=SL$

L = R L

$L=RL$

— sdcvvc

Див. Пункт 3. тут . Ви можете заперечити, що це повна спекуляція, але зауважте, що відповідь Скотта в основному говорить про те, що йдеться про випадкове дослідження спрямованих графіків.

— Томас Клімпель

Основна проблема полягає в тому, що на спрямованих графах навіть справді випадкова хода не вражає всіх вершин у очікуваний поліном час, не кажучи вже про псевдовипадковій ході. Стандартний контрприклад тут - це спрямований графік з вершинами, упорядкованими зліва направо, де кожна вершина має край, що веде до вершини праворуч (за винятком самої правої вершини, ), а кожна вершина також має край, що веде до всіх шлях до самої лівої вершини, . Щоб дістатися від до випадковою прогулянкою, знадобиться ~ час. Отже, що таке рандомізований алгоритм малого простору для спрямованого підключення, який ми сподіваємось дерадонімізувати, аналогічно тому, що зробив Рейнгольд $n$ $t$ $s$ $s$ $t$ $2^n$ $USTCON$ ? (Якщо говорити інакше, як ми показуємо , не кажучи вже про ?) Для спрямованого підключення, звичайно, є алгоритм Савича, але це займає простір, а для загальних графіків немає одному вдалося вдосконалити його за півстоліття, з використанням випадкових випадків або без них. $RL=NL$ $L=NL$ $O(\log^2 n)$

— Скотт Ааронсон
джерело

Такий алгоритм, який я б описав, був би приблизно - добре, ви кілька разів запускаєте операцію Рейнгольда "квадрат і зигзаг". Я припускаю, що модифікація полягала б у тому, що замість квадрата, що містить лише контури довжиною 2 в оригінальному графіку, він включає шляхи довжиною 1 і 2. Спробуйте всі логарифмічно глибокі послідовності, як і його. Якщо пронумерувати вершини вашого графа як 1, 2, .. n, то перший «квадрат» графік з'єднує 1 до 2 і 3, наступний «квадрат» з'єднає його з 2345 і т. Д. Кроки зигзагу зберігають градуси низький. Очевидно грубо, але я не бачу, чому це виходить з ладу.

— Алекс Мейбург

Для спрямованого підключення існує алгоритм поліноміального часу, що використовує простір "тільки" Барнсом, Buss, Руццо та Шибер: Сублінейний простір , Поліноміальний часовий алгоритм для спрямованого зв'язку . Це розумна суміш першого пошуку в широті і рекурсивного алгоритму, подібного Савичу, щоб знайти шляхи між наступними рівнями BFS. Все, що зараз потрібно - це перейти від до . Так воно не покращилося не за півстоліття, а лише за останні 20 років :)

\frac{n}{2^{Θ (\sqrt{\log n})}}

$\frac{n}{2^{\Theta(\sqrt{\log n})}}$

\frac{n}{2^{Θ (\sqrt{\log n})}}

$\frac{n}{2^{\Theta(\sqrt{\log n})}}$

\log n

$\log n$

— Lieuwe Vinkhuijzen,