Контрприклад з алгоритмами максимального потоку з ірраціональними вагами?

Відомо, що Форд-Фулкерсон або Едмондс-Карп з евристикою жирової труби (два алгоритми максимального потоку) не повинні зупинятися, якщо деякі ваги нераціональні. Насправді вони можуть навіть сходитися на неправильному значенні! Однак у всіх прикладах, які я міг знайти в літературі [посилання нижче, плюс посилання на них], використовується лише одне ірраціональне значення: сполучене золоте співвідношення$\phi' = (\sqrt{5}-1)/2$та інші значення, які є або раціональними, або є раціональними кратними $\phi'$. Моє головне питання:

Загальне запитання: Що відбувається з іншими ірраціональними значеннями?

Наприклад (але не відчуваю, що вам доведеться відповідати на все це, щоб опублікувати - мені буде цікавою відповідь на будь-яке, або на інші запитання, які підпадають під вищезазначене загальне запитання):

1. Дано будь-яке $\alpha \in \mathbb{R}$Чи можна побудувати (або навіть показати існування) таких контрприкладів?

2. Більш слабко: чи відомі приклади, які використовують ірраціональне значення, суттєво відрізняється від$\phi'$? Тобто чи є якісь$\alpha$ що не є раціональним кратним $\phi'$ (або сильніше не в $\mathbb{Q}(\phi')$) і таке, що є зустрічні приклади до Форда-Фулкерсона та / або Едмондса-Карпа, де лежать усі ваги $\mathbb{Q}(\alpha)$?

3. В іншому напрямку чи існує ірраціональне $\alpha$таким, що Форд-Фулкерсон (респ., Едмондс-Карп) зупиняється з правильним значенням на всіх графах , вага яких походить від$\mathbb{Q} \cup \{q\alpha : q \in \mathbb{Q}\}$? (Або сильніше, з$\mathbb{Q}(\alpha)$?)

У всіх випадках я хочу припустити щось на зразок реальної моделі ОЗУ, так що точні арифметичні та точні порівняння реальних чисел робляться в постійний час.

(Є й інші алгоритми максимального потоку, які, як відомо, працюють у сильно поліноміальний час, навіть з довільними реальними вагами, тому, мабуть, цей тип питань, можливо, ще не вивчався. Але я тільки що навчив ці алгоритми в моєму класі алгоритмів недооцінки , Мені все ще цікаво з цього приводу.)

Список літератури

• Мінімальний контрприклад для Ford-Fulkerson був наданий Zwick TCS 1999

• Контрприклад для Едмондса-Карпа дали Кейранн або Кейранн Мат. Опер. Рез. 1980 рік , хоча я не знаю, чи це мінімально.

• І те і інше можна знайти в конспектах лекцій Джеффа Еріксона , перше в розділі 23.5, а друге - вправа 14 з лекції 23.

Відповідь полягає в тому, що на кожне ірраціональне число $r$, існує мережа

• з $n=6$ вершин і $m=8$ дуги,
• в якій сім дуг має цілу ємність,
• в якій одна дуга має ємність $r$,
• і на якому Форд-Фулкерсон може не припинити.

Це було доведено в роботі

Toshihiko Takahashi:
"Найпростіша і найменша мережа, в якій процедура максимального потоку Форда-
Фулкерсона може не завершитися " Журнал обробки інформації 24, стор 390-394, 2016.
Посилання: https: //www.jstage.jst.go. jp / article / ipsjjip / 24/2 / 24_390 / _article

Дякую за запитання, яке я виявив не дуже природним, але все ж таки кумедним.

Я заглянув у частину Форда-Феркульсона і, думаю, знайшов графік, який є протилежним прикладом і має лише одне ребро з ірраціональною ємністю α (графік може працювати для будь-якого α).

Ось PDF, який підбиває підсумки моєї спроби: https://louis.jachiet.com/tmp/jQwbrkSMLNU_draft.pdf (вибачте, це трохи лаконічно на даний момент, але не соромтеся ставити запитання)

Очевидно, що Ford-Felkurson дозволяє нам вибрати шлях розширення так, як ми хочемо ... Я не впевнений, що це було б можливим для Едмонда-Карпа.