Наведіть приклади того, як нерівномірність може бути корисною?

Мені цікаво, як ви бачили, як нерівномірність корисна для обчислень. Один із способів - випадковість, як у , а інший - таблиці пошуку, які використовуються для показу, що всі мови мають нерівномірні схеми.$BPP \subseteq P/poly$

Зокрема, мене цікавлять способи того, як об'єкти, за якими відомо, що існують за допомогою імовірнісного методу та інші неконструктивні (або недостатньо конструктивні) методи доказування, можна використовувати за допомогою нерівномірності. Я вважаю за краще, щоб приклади були природними, а не надуманими. Щоб було зрозуміло, схема для надуманої проблеми могла бути чимось на зразок: з огляду на деяку мову , я створюю ланцюг розмірів поліномів, обчислюючи деяку дійсно важку функцію використовуючи мою пораду і запитую, чи .$L \in P$$f(|x|)$$f(|x|)^{n/|f(|x|)|} \oplus x \in L$

Приклад, який мені подобається, - це аргумент, що шляхом підрахунку рядків у мові (див., Наприклад, https://blog.computationalcomplexity.org/2004/01/little-theorem.html ).$\mathrm{NE\subseteq coNE}/(n+1)$

Одним із прикладів є $\mathbf{NL} \subseteq \mathbf{UL}/\text{poly}$. Цю теорему довели Рейнхардт та Аллендер у своїй праці "Зробити недетермінізм однозначним" . Не вдаючись у подробиці, порада в їх алгоритмі складається з послідовності крайових вагових призначень так, що для будь-якого диграфа$G$ закодований $n$-бітовий рядок, якесь призначення в послідовності робить $G$"міні-унікальний". Показано, що така послідовність існує імовірнісним методом. Основний внесок Рейнхардта та Альєндера полягав у тому, щоб дати однозначні алгоритми простору логічного простору для визначення того, яке призначення в послідовності працює для конкретного заданого диграфа$G$ і для прийняття рішення $s$-$t$ підключення на міні-унікальному digraph.

Як і у випадку $\mathbf{BPP} \subseteq \mathbf{P}/\text{poly}$, можна припустити, що неоднорідність тут насправді не потрібна, тобто, це можна припустити $\mathbf{NL} = \mathbf{UL}$.

Я не впевнений, чи відповідає це те, що ви шукаєте, але є кілька результатів, що підтверджують теореми ієрархії для класів семантичної складності з одним порадкою, де жодна теорема ієрархії не відома без порад. Найвідоміший приклад - BPP, для якого ми не знаємо теорему ієрархії, але Fortnow і Santhanam показали, що існує одне з декількох порад (спираючись на результат Барака, який використовував більше порад). У цій статті Мелькебека та Первишева наведено посилання і на історію, і на теорему, яка, здається, переймає попередні.