Чи був якийсь прогрес у посиленні показника в результаті, що полілог незалежність дурить

Браверман показав, що розподіли, які є -незалежні незалежні глибина підошви ланцюгів розміром шляхом "склеювання" Смоленського апроксимація та наближення Фур'є обчислювані булеві функції. Автор та ті, хто вигадав цю оригінальну здогадку, що показник там може бути зменшений до$(log \frac{m}{\epsilon})^{O(d^2)}$$\epsilon$$d$ $AC^0$$m$$AC^0$$O(d)$і мені цікаво, якби був досягнутий прогрес у цьому, як я думаю, це передбачає створення полінома, близького по відстані кореляції, а також фактично узгодження функції з великою кількістю входів, і я думаю, що це було б бути дуже цікавим наближенням, щоб їх не склеювати. Чи є якась причина очікувати, що таке наближення повинно мати ступінь про яку не було відомо, коли Браверман писав свою роботу в 2010 році?$O(d^2)$

Ще одне питання щодо цієї роботи у мене полягає в тому, що оригінальна гіпотеза нагадує обмежену чутливістю Боппана, хоча це було у статті, написаній до цього обмеження. Це, звичайно, не є випадковістю, оскільки ця межа відповідатиме концентрації Фур'є, яку ви можете отримати від зв'язаного Боппана, якщо поліном Фур'є працював, але чи є інша інтуїція, яку ви знаєте, ніж це, "якщо поліном Фур'є працював , це те, що ви отримаєте "один?

У своєму документі про CCC'17 [1] Авішай Тал покращив обмеження до Ви можете перевірити на диску 15: 4 для обговорення. Він також посилається на (див. Виноску 30 до статті Харші та Шрінівасана , яка вдосконалюється на (1)), і відповідає гіпотезі Тала: незалежно, для досить -fool размер- depth- AC0 схеми.

[1] Щільні межі в спектрі Фур'є$\mathsf{AC}_0$ , A. Tal. CCC'17.

[2] Про поліноміальні наближення до$\mathsf{AC}_0$ , П. Харша та С. Шрінівасан. RANDOM 2016,