Узагальнення твердження про те, що моноїд розпізнає мову, якщо синтаксичний моноїд ділить моноїд

Нехай - кінцевий алфавіт. Для даної мови синтаксичний моноїд являє собою добре відоме поняття в теорії формальних мов. Крім того, моноїд розпізнає мову якщо існує морфізм такий, що .$A$$L \subseteq A^{\ast}$ $M(L)$$M$$L$$\varphi : A^{\ast} \to M$$L = \varphi^{-1}(\varphi(L)))$

Тоді ми маємо хороший результат:

Моноїд розпізнає якщо є гомоморфним зображенням підмоноїда (записаного як ).$M$$L \subseteq A^{\ast}$$M(L)$$M$$M(L) \prec M$

Вищезазначене зазвичай є державами в контексті звичайних мов, і тоді всі вищезгадані моноїди є кінцевими.

Тепер припустимо, що ми підставляємо довільним моноїдом , і говоримо, що підмножина розпізнається якщо існує морфізм таким, що$A^{\ast}$$N$$L \subseteq N$$M$$\varphi : N \to M$$L = \varphi^{-1}(\varphi(L))$. Тоді ми все ще маємо це, якщо$M$ визнає $L$, тоді $M(L) \prec M$ (див. С. Ейленберг, Автомати, Машини та мови, Том B), але чи має зворотне значення?

У доказі для $A^{\ast}$ зворотне доводиться, використовуючи властивість, що якщо $N = \varphi(M)$ за деякий морфізм $\varphi : M \to N$ і $\psi : A^{\ast} \to N$ це також морфізм, то ми можемо знайти $\rho : A^{\ast} \to M$ такий як $\varphi(\rho(u)) = \psi(u)$ тримається, просто вибравши деякі $\rho(x) \in \varphi^{-1}(\psi(x))$ для кожного $x \in A$ і поширюючи це на морфізм від $A^{\ast}$ до $M$. Але це не працює для довільних моноїдів$N$тому я очікую, що вищезгадане зворотне значення буде помилковим тоді. А якщо це неправда, для якого моноїда поруч$A^{\ast}$ це все-таки правда, і чи виявляли ці моноїди якусь увагу в дослідницькій літературі?

Так, ці моноїди привернули увагу в дослідницькій літературі і насправді призводять до складних питань.

Визначення . Моноїд$N$називається проективним, якщо має місце таке властивість: якщо$f:N \to R$ є моноїдним морфізмом і $h:T \to R$ є сюрєктивним морфізмом, тоді існує морфізм $g:N \to T$ такий як $f = h \circ g$.

Ви можете знайти довге обговорення проективних моноїдів у [1], відразу після визначення 4.1.33. Зокрема, показано, що кожна проективна кінцева напівгрупа - це смуга (напівгрупа, в якій кожен елемент є ідентичним). Але зворотне не відповідає дійсності, і вирішити, чи є кінцева напівгрупа проективною, це фактично відкрита проблема.

[1] Дж Rhodes і Б. Штейнберг,$q$-теорія кінцевих напівгруп . Монографії Спрінгера з математики. Спрингер, Нью-Йорк, 2009. xxii + 666 pp. ISBN: 978-0-387-09780-0