Вирішення, чи містить інтервал просте число

Яка складність вирішити, чи містить проміжок натуральних чисел простий? Варіант сита Ератостена дає алгоритм , де L - довжина інтервалу і приховує полі-логарифмічні фактори в початковій точці інтервалу; чи можемо ми зробити краще (лише з точки зору )?$\tilde O(L)$$L$$\sim$$L$

Відмова : Я не знавець теорії чисел.

Коротка відповідь : Якщо ви готові припустити "розумні теоретичні гіпотези", тоді ми можемо сказати, чи є простір в інтервалі у часі p o l y l o g ( n ) . Якщо ви не готові зробити таке припущення, тобто красивий алгоритм з - за Odlyzko , який досягає п 1 / 2 + O ( 1 ) , і я вважаю , що це найвідоміший.$[n, n+\Delta]$$\mathrm{polylog}(n)$$n^{1/2 + o(1)}$

Дуже корисне посилання з великою кількістю чудової інформації про тісно пов’язану проблему : проект PolyMath про детерміновані алгоритми пошуку прайметів .

Довга відповідь :

Це складна проблема, активна область дослідження і, здається, тісно пов'язана зі складним питанням обмеження прогалин між праймерами. Ваша проблема в моральному плані дуже схожа на проблему пошуку проміжного рівня між та 2 n детерміновано, що нещодавно було предметом проекту PolyMath . (Якщо ви хочете по-справжньому зануритися в ці питання, це посилання - чудове місце для початку.) Зокрема, наші найкращі алгоритми для обох проблем по суті однакові.$n$$2n$

В обох випадках найкращий алгоритм значною мірою залежить від розміру проміжків між простими. Зокрема, якщо такий, що між n та n + f ( n ) завжди є простим числом (а f ( n ) можна обчислити ефективно), то ми завжди можемо знайти просте в часі p o l y l o g ( n ) ⋅ f ( n ) наступним чином. Визначити, чи існує простір між n і n $f(n)$$n$$n + f(n)$$f(n)$$\mathrm{polylog}(n) \cdot f(n)$$n$ , спочатку перевірте, чи Δ ≥ f ( n ) . Якщо так, виведіть так. В іншому випадку просто повторіть цілі числа між n і n + Δ і випробуйте кожне на первинність і відповідь "так", якщо ви знайдете просте, а не інше. (Це може бути зроблено детерміновано, тому детерміновано пошук простої між n та 2 n настільки тісно пов'язаний з визначенням, чи є простір у певному інтервалі.)$n + \Delta$$\Delta \geq f(n)$$n$$n + \Delta$$n$$2n$

Якщо праймери поводяться так, як ми думаємо, що вони роблять, то це кінець історії (до факторів). Зокрема, ми очікуємо, що зможемо взяти f ( n ) = O ( log 2 n ) . Це відоме якприпущення Крамерапісля Харальда Крамера, і це доводить, що наразі воно здається дуже далеко недосяжним. Але, наскільки я знаю, в це поширена думка. (До цієї гіпотези доходить, наприклад, з евристики, що прайми поводяться як випадковий набір цілих чисел, отриманий шляхом включення кожного цілого числа n ≥ $\mathrm{polylog}(n)$$f(n) = O(\log^2 n)$$n \geq 3$незалежно навмання з вірогідністю .)$1/\log n$

Існує багато гіпотез, з яких випливає набагато слабше пов'язане , наприклад, здогадка Легенда. (Я не знаю жодних домислів, які, як відомо, передбачають проміжну межу, хоча я думаю, що вони існують.) І, як відомо, гіпотеза Рімана передбачає аналогічну зв'язануf(n)≤O($f(n) \leq O(\sqrt{n})$. Отже, якщо ви припускаєте ці здогадки, ви по суті співпадаєте алгоритм Одлізько (на коефіцієнтn o ( 1 ) ) з набагато простішим алгоритмом.$f(n) \leq O(\sqrt{n} \log n)$$n^{o(1)}$

Я вважаю, що найкраща безумовна межа на даний момент - завдяки Бейкеру, Харману та Пінцу . Отже, якщо нічого не припускати, то алгоритм Одлізка перемагає очевидний алгоритм приблизно в коефіцієнт n 0,025 .$\widetilde{O}(n^{0.525})$$n^{0.025}$