Незрівнянні натуральні числа

"Гра з найбільшою кількістю цифр" просить двох гравців записати номер таємно, а переможець - людина, яка записала більшу кількість. Гра зазвичай дозволяє гравцям записувати функції, оцінені в певній точці, тому також було б прийнятним записом. $2^{2^{2^{2}}}$

Значення функції Busy Beaver, , не можна визначити (у ZFC або будь-якій розумній послідовній аксіоматичній системі) для великих значень . Зокрема, не може бути визначений відповідно до цієї роботи . Однак це не означає, що ми не можемо порівнювати значення функції Busy Beaver. Наприклад, ми можемо довести, що суворо монотонно . $BB(x)$ $x$ $BB(10^4)$ $BB(x)$

Припустимо, що ми дозволяємо гравцям записувати вирази, що містять композиції з елементарних функцій, натуральних чисел та функції зайнятого Бівера. Чи є два вирази, що два гравці можуть записати такі, що ми можемо довести в ZFC, що визначити переможця в ZFC неможливо (якщо вважати, що ZFC є послідовним)?

EDIT: Спочатку це питання говорило "... довільні комбінації обчислюваних функцій, натуральних чисел та функції зайнятого Бівера".

Якщо дозволити $f(x)$ приймати значення $3$ якщо $BB(x) >$ [щось нечестиво велике і невиразне на цьому веб-сайті], а $7$ якщо це не так, то $f(10^4)$ і $6$ є незрівнянними.

Це мене не влаштовує, багато в чому тому, що $f$ не є розумною функцією, яку хтось може використовувати в цій грі. Я не бачу, як можна сформулювати свою інтуїцію щодо цього, тому я обмежив питання, щоб уникнути кускових функцій.

computability undecidability

— Стелла Бідерман
джерело

Чи можна нерозбірливість поширити, скажімо, на окремі біти? Якщо так, то вам просто доведеться зробити щось на кшталт порівняння 3-го найменш значущого біта з 8-м найменш значущим бітом.

B B (10^{4})

$BB(10^4)$

B B (10^{4})

$BB(10^4)$

— mhum

@mhum подібні запитання хитрі, оскільки значення насправді залежить від кодування. Існують кодування, для яких, наприклад, завжди є рівним. Я розумію, що всі запитання в цих рядках є тривіально обчислюваними або відкритими, залежно від кодування.

B B (x)

$BB(x)$

B B (x)

$BB(x)$

— Stella Biderman

Відповідно до відповіді в цьому дописі: cstheory.stackexchange.com/questions/9652/… , схоже, що ВВ справді суворо монотонне

— Аві Тал

Мистецтво грати в подібні ігри полягає в тому, щоб зводити правила, тому я не думаю, що вважати, що якась функція є нерозумною. Якби ми грали в цю гру, я б, безумовно, вразив тебе найогиднішою функцією, про яку я можу придумати (і я є логіком).

— Андрій Бауер

Коли ви говорите "не визначимо", я припускаю, що ви маєте на увазі, що це не залежить від такої теорії, як ZFC. Будуть такі твердження, як (для натуральних чисел , ), які не визначаються ZFC, якщо припустимо, що ZFC є послідовним. Тому що в іншому випадку ми могли б обчислити функцію просто шляхом пошуку доказів у ZFC таких тверджень.

B (m) > n

$B(m)>n$

m

$m$

n

$n$

B

$B$

Оскільки є Тюрінг завершеним, деяка машина Тьюрінга з Con (ZFC) приймає з Oracle (на вході 0, скажімо), а Con (ZFC) відхиляє. $B$ $\Phi$ $\iff$ $\Phi$ $B$ $\neg$ $\iff$ $\Phi$

Тепер припускаючи, що насправді Con (ZFC) справжній, ми знаємо, приймає, і існує деяка колекція фактів , яка була використана при обчисленні (ми можемо встановити так, що доступ до Oracle працює таким чином). Тоді помилково, але цей факт не є доказовим у ZFC, інакше ZFC довів би свою послідовність. Звичайно, це можна переписати як і так, певно, ( *) надає відповідь " Так" на ваше запитання. $\Phi$ $B(m_i)=n_i$ $1\le i\le k$

\sum_{i = 1}^{k} (B (m_{i}) - n_{i})^{2} > 0

$\sum_{i=1}^k (B(m_i)-n_i)^2>0$

\begin{matrix} (*) & \sum_{i = 1}^{k} B (m_{i})^{2} + n_{i}^{2} > \sum_{i = 1}^{k} 2 B (m_{i}) n_{i} \end{matrix}

$\sum_{i=1}^k B(m_i)^2+n_i^2>\sum_{i=1}^k 2B(m_i)n_i\tag{*}$

Однак я не думаю, що ми можемо розібратися, що це за цифри , , оскільки запити адаптивні (те, що запитується, залежить від відповідей на попередні запитання, і ми не знаємо цих відповідей). $m_i$ $n_i$

— Bjørn Kjos-Hanssen
джерело

Це відмінний доказ існування того, що я шукаю. Однак я конкретно після фактичного прикладу такого рівняння, з якимсь виразом, який ми могли б записати для . Ви також маєте рацію в тому, що моє використання "невизначеного" є невірним, я змінив своє запитання.

n, m

$n,m$

— Stella Biderman

@StellaBiderman так і так чи інакше, якщо тоді вислів не залежить від ZFC результатами Ааронсона та Єдідії на arxiv.org/abs/1605.04343

n_{0} = B (7910)

$n_0=B(7910)$

B (7910) \leq n_{0}

$B(7910)\le n_0$

— Bjørn Kjos-Hanssen