Чи існують процедури напівприйняття цієї теорії?

У мене є наступна набрана теорія

|- 1_X : X -> X
f : A -> B, g : B -> C |- compose(g,f) : A -> C
F, f : A -> B |- apply(F,f) : F(A) -> F(B)

з рівняннями для всіх термінів:

f : A -> B, g : B -> C, h : C -> D |- compose(h,compose(f,g)) = compose(compose(h,f),g)
f : A -> B |- compose(f,1_A) = f
f : A -> B |- compose(1_B,f) = f
F |- apply(F,1_X) = 1_F(X)
f, f : A -> B, g : B -> C |- apply(F,compose(g,f)) = compose(apply(F,g),apply(F,f))

Я шукаю процедуру напівприйняття рішення, яка зможе довести рівняння в цій теорії з урахуванням набору гіпотетичних рівнянь. Також не ясно, чи існує повна процедура прийняття рішення чи ні. Здається, не існує жодного способу кодування проблеми слів для груп. Ніл Крішнасвамі показав, як кодувати слово в цьому питанні, тому загальна проблема не можна визначити. Підтеорію асоціативності та ідентичності можна легко вирішити, використовуючи моноїдну модель теорії, тоді як повну проблему важче, ніж закриття конгруентності. Будь-які посилання чи покажчики будуть дуже вітаються!

Ось явний приклад того, що ми сподіваємось, що зможемо автоматично довести:

f : X -> Y, F, G,
a : F(X) -> G(X), b : G(X) -> F(X),
c : F(Y) -> G(Y), d : G(Y) -> F(Y),
compose(a,b) = 1_F(X), compose(b,a) = 1_G(X),
compose(c,d) = 1_F(Y), compose(d,c) = 1_G(Y),
compose(c,apply(F,f)) = compose(apply(G,f),a)
|- compose(d,apply(G,f)) = compose(apply(F,f),b)

Мені здається, що ви можете закодувати проблему слів для груп в рамках теорії категорій наступним чином. Виберіть об'єкт , а потім для кожної утворює групи ввести два морфізма х , х ' : Х → Х , і припустимо , що рівності х ∘ х ' = 1 X і х ' ∘ х = 1 X . Тоді ви можете визначити одиницю, яка буде картою ідентичності, композицію для групового множення та заперечення рядка x ∘ y ∘ $X$$x,x' : X \to X$$x \circ x' = 1_X$$x' \circ x = 1_X$$x\circ y\circ z$бути зворотною грунтованою рядком . Отже, ця проблема не може бути вирішена.$z' \circ y' \circ x'$

Однак проблема слів вирішується для багатьох конкретних груп, тому, якщо у вас є більше деталей про проблему, це може допомогти. Зокрема, одна ідея з теорії груп, яка може вам дуже допомогти, полягає в тому, що абсолютні уявлення про кінцево сформовані групи є вирішуваними - нерівності можуть обрізати простір пошуку достатньо, щоб зробити теорію зрозумілою.

EDIT: Ще одна думка, яку я мав, - це те, що додавання неполадок все ще може бути корисним інструментом для вас, навіть якщо конкретні моделі, які вас цікавлять, підтверджують рівняння. Це тому, що в категоричних ситуаціях ви часто бажаєте лише «приємних» рівнянь, для певного значення приємного, і ви можете використовувати нерівності, щоб виключити занадто злі рішення для вас. Ваша процедура прийняття рішення все ще може бути неповною, але ви можете отримати більш природну характеристику рішень, які вона може знайти, ніж "ми шукаємо можливі доказові дерева на глибину до 7".

Удачі; ця функторна річ, яку ви робите, виглядає досить круто!

Одне посилання: Автоматизація доказів у теорії категорій Декстер Козен, Крістоф Крейц та Ева Ріхтер.