Наскільки малою може бути шарувата булева схема для функції зі складністю схеми ?

Розглянемо функцію обчислену булевою схемою з входами розміру над основою (з розрізненням 2 для воріт ). $f$ $C$ $n$ $s(n) = \mathsf{poly}(n)$ $\{\mathsf{XOR},\mathsf{AND},\mathsf{NOT}\}$ $\mathsf{XOR},\mathsf{AND}$

Булева схема є шаруватою, якщо її можна розташувати на шари ( - глибина контуру) воріт, так що будь-який край між двома воротами з'єднує сусідні шари. $d$ $d$

Враховуючи, що має булеву схему розміру , що можна сказати про розмір багатошарової схеми обчислення ? Існує тривіальна верхня межа: додаючи манекенні вузли до у кожному шарі, перехрещеному ребром, отримуємо шарувату схему розміром не більше . Але чи можемо ми покращитися загалом (наприклад, , або ), або для цікавого класу схем? $f$ $s$ $f$ $C$ $O(s^2)$ $O(s\cdot \log s)$ $O(s)$

Фон Це питання випливає з останніх результатів криптографії, які показують, як надійно обчислити шаруваті булеві схеми розміру допомогою зв'язку (наприклад, або ; Я намагаюся зрозуміти, наскільки обмежувальним може бути таке обмеження для шаруватих булевих схем на практиці, як для загальних, так і для "природних" схем. Однак я не знайшов багато про шаруваті схеми в літературі; відповідні покажчики також будуть вітатися. $s$ $o(s)$ $s/\log s$ $s/\log\log s)$

circuit-complexity circuits

— Джеффрой Куто
джерело

Ось приклад схеми, яку, здається, важко перетворити на багатошарову схему без значного розміру. Визначте як деяку функцію, яку можна обчислити за розміром . Визначити , і нехай буде ітерація . Тоді має розмір . Здається, складно побудувати шарувату схему розміром менше . Отже, якщо , можливо, слід очікувати розриву між розміром ланцюга і розміром шаруватої схеми. Не доказ, а лише напрошуючий приклад, щоб, можливо, керувати інтуїцією.

f : {0, 1}^{n - 1} \to {0, 1}

$f:\{0,1\}^{n-1} \to \{0,1\}$

u

$u$

g (x_{1}, \dots, x_{n}) = (x_{2}, \dots, x_{n}, x_{1} \oplus f (x_{2}, \dots, x_{n}))

$g(x_1,\dots,x_n) = (x_2,\dots,x_n,x_1 \oplus f(x_2,\dots,x_n))$

C

$C$

t

$t$

g

$g$

C

$C$

O (t u)

$O(tu)$

Θ (n t)

$\Theta(nt)$

u = o (n)

$u=o(n)$

— DW

Наскільки я пам’ятаю, для шаруватих схем найвідоміша нижня межа має вигляд . Це особливо легко довести в протягом -До- функції. Візьмемо, наприклад, лінійну карту де має нулі лише на головній діагоналі. Тоді він повинен мати принаймні воріт на кожному шарі, а кількість шарів принаймні . Зауважте, що цю функцію можна легко обчислити за допомогою звичайної схеми розміром . Для функцій з одним виходом також можна довести ту саму нижню межу, але я не пам’ятаю аргументу.

Ω (n \log n)

$\Omega(n \log n)$

n

$n$

n

$n$

A x

$Ax$

A \in {0, 1}^{n \times n}

$A \in \{0,1\}^{n \times n}$

n

$n$

\log_{2} n

$\log_2 n$

O (n)

$O(n)$

— Олександр Сергійович Куліков

Дякую за коментарі. @ AlexanderS.Kulikov, це ваш аргументальний фольклор чи у вас є якийсь вказівник на роботи над шаруватими схемами? має сенс - я був би дуже дивно , що - то менше , - але єдина відома верхня межа?

Ω (n \log n)

$\Omega(n \log n)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Джеффрой Куто

Я думаю, це фольклор, так. Я не впевнений, що у мене виникає питання про верхню межу . Ви можете поглянути на наступний документ: cs.utexas.edu/~panni/sizedepth.pdf

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Куліков Олександр Сергійович

Я думаю, що ми не знаємо кращого, ніж перетворення взагалі. Зверніть увагу, що схема розміром і глибини може бути перетворена в шарувату схему розміром не більше . (Що в гіршому випадку дає нам схему розміру .) Я просто хотів зазначити, що якби ми могли довести нижню межу на розмір a багатошарова схема, це дало б нам суперлінійну нижню межу розміру схем глибини журналу для цієї функції. Це питання залишається відкритим більше 40 років.

O (s^{2})

$O(s^2)$

s

$s$

d

$d$

d s

$ds$

O (s^{2})

$O(s^2)$

ω (n \log n)

$\omega(n\log{n})$

— Олексій Головнєв

Наскільки мені відомо, вивчали три класи шаруватих схем. У всіх цих визначеннях дуги допускаються лише між двома сусідніми шарами.

Схема називається синхронною ( Harper 1977 ), якщо всі ворота розташовані в шари, а входи повинні знаходитись на рівні 0. (Еквівалентне визначення: для будь-якого затвора всі шляхи від входів до мають однакову довжину.) $g$ $g$
Схема є локально синхронною ( Belaga 1984 ), якщо кожен вхід відбувається точно один раз, але на довільному шарі.
Схема є шаруватою ( Gál, Jang 2010 ), якщо ворота та входи розташовані в шари, входи можуть виникати кілька разів на різних шарах. (Еквівалентне визначення: для будь-якого затвора та вихідного затвора всі напрямлені контури від до мають однакову довжину.) $g$ $o$ $g$ $o$

Неважко помітити, що три класи перераховані від найслабших до найсильніших (а клас необмежених схем ще сильніший).

Щодо розміру шаруватої схеми, що обчислює необмежену схему розміром ми знаємо наступне: $s$

Будь-яка схема розміру може бути обчислена синхронною / локально синхронною / шаруватою схемою розміром ( Wegener 1987, Розділ 12.1 ). $s$ $s^2$
Слід знайти важку функцію, яка потребує синхронної / локально синхронної / шаруватої схеми розміром . Дійсно, кожну схему розміром і глибини можна обчислити за допомогою синхронної схеми розміром ( Wegener 1987, Розділ 12.1 ). Таким чином, навіть якщо ми маємо явну функцію яка вимагає синхронних схем розміру (незалежно від її складності в класі необмежених мікросхем), не може бути обчислена схемою глибини і розміром , який відповідає на давнє відкрите питання складності схеми ( $\omega(s\log{s})$ $s$ $d$ $O(sd)$ $f$ $\omega(n\log{n})$ $f$ $O(\log{n})$ $O(n)$ Доблесний 1977 ).
Існують явні функції

3.1. з нижньою межею для синхронних схем, але верхньою межею для локально синхронних схем ( Turán 1989 ). $\Omega(n\log{n})$ $O(n)$

3.2. з нижньою межею для локально синхронних схем, але верхньою межею для шаруватих схем ( Turán 1989 ). $\Omega(n\log{n})$ $O(n)$

Важливо зауважити, що ці два результати поділу Турана доведено для функцій з одним виходом. Часто набагато простіше знайти функцію з виходами, яка розділяє два такі класи. $n$

Як приклад, розглянемо функцію де й вихідний біт є XOR усіх входів, крім го. Цю функцію можна легко обчислити за допомогою шаруватої схеми розміром : Спочатку обчисліть XOR усіх входів у шарах загального розміру , потім обчисліть усі виходи в один шар розміром . З іншого боку, для потрібні синхронні схеми розміром . Дійсно, для обчислення парності довжини глибина ланцюга повинна бути не менше . З іншого боку, кожен шар повинен передавати $f\colon\{0,1\}^n\to\{0,1\}^n$ $i$ $i$ $O(n)$ $\log{n}$ $n$ $n$ $f$ $\Omega(n\log{n})$ $n-1$ $\Omega(\log{n})$ $n$ біт інформації, при цьому її розмір повинен бути не менше . $n$

— Олексій Головнєв
джерело