Розуміння доказу сильної нормалізації обчислення конструкцій

У мене є труднощі в розумінні доказів сильної нормалізації для числення конструкцій. Я намагаюся дотримуватися доказів у роботі Германа Гейвера "Короткий і гнучкий доказ сильної норми для обчислення конструкцій".

Я добре дотримуюся основної лінії міркувань. Конструкції Гюверса для кожного типу $T$ тлумачення $[\![T]\!]_\xi$ на основі деякої оцінки змінних типів $\xi(\alpha)$ . А потім він конструює якусь термінову інтерпретацію $(\!|M|\!)_\rho$ ґрунтуючись на деякій оцінці термінних змінних $\rho(x)$ і доводить, що для достовірних оцінок твердження $(\!|M|\!)_\rho \in [\![T]\!]_\xi$ для усіх $\Gamma\vdash M:T$ тримає.

Моя проблема: для легких типів (наприклад, типів системи F) інтерпретація типів $[\![T]\!]_\xi$ це дійсно сукупність термінів, тому твердження $(\!|M|\!)_\rho \in [\![T]\!]_\xi$ має сенс. Але для більш складних типів тлумачення $[\![T]\!]_\xi$ це не сукупність термінів, а сукупність функцій якогось відповідного простору функцій. Я думаю, я майже розумію побудову функціональних просторів, однак вона не може присвоїти жодного значення $(\!|M|\!)_\rho \in [\![T]\!]_\xi$ для більш складних типів $T$ .

Чи може хтось пояснити або дати посилання на деякі більш зрозумілі виклади доказу?

Редагувати: Дозвольте спробувати зробити питання зрозумілішим. Контекст $\Gamma$ має оголошення для змінних типів $\alpha:A$ і об'єктні змінні. Оцінка типу діє, якщо для всіх $(\alpha:A) \in \Gamma$ з $\Gamma\vdash A:\square$ тоді $\xi(\alpha) \in \nu(A)$ є дійсним. Але $\nu(A)$ може бути елементом $(SAT)^*$ і не тільки $SAT$ . Тому не можна визначити дійсну оцінку терміну $\rho(\alpha)$ . $\rho(\alpha)$ повинен бути терміном, а не якоюсь функцією простору функції.

Редагувати 2: Приклад, який не працює

Зробимо наступне дійсне виведення:

\begin{array}{llll} [] & ⊢ & * : ◻ & axiom \\ [α : *] & ⊢ & α : * & variable introduction \\ [α : *] & ⊢ & * : ◻ & weaken \\ [] & ⊢ & (Π α : * . *) : ◻ & product formation \\ [β : Π α : * . *] & ⊢ & β : (Π α : * . *) & variable introduction \end{array}

$\begin{array}{llll} [] &\vdash & *:\square &\text{axiom} \\ [\alpha:*] &\vdash& \alpha:* &\text{variable introduction} \\ [\alpha:*] &\vdash& *:\square &\text{weaken} \\ [] &\vdash & (\Pi \alpha:*.*):\square &\text{product formation} \\ [\beta:\Pi \alpha:*.*] &\vdash& \beta:(\Pi \alpha:*.*) &\text{variable introduction} \end{array}$

В останньому контексті має бути задоволеною дійсна оцінка типу $\xi(\beta) \in \nu(\Pi \alpha:*.*) = \{f| f:\text{SAT} \to \text{SAT}\}$ . Для цього виду оцінки не існує дійсної термінової оцінки.

— гельмут
джерело

Половина людей, які читають це, подумають про це

S A T

$SAT$ є СБ. Ви повинні пояснити, що це таке. Крім того, ваше виведення здається трохи дивним. Другий рядок не повинен згадувати

α

$\alpha$ на завершення він повинен прочитати щось подібне

[α : *] ⊢ * : ◻

$[\alpha : *] \vdash * : \Box$ , чи не слід?

— Андрій Бауер

Я використовую позначення Германа Гейвера (що, здається, є стандартним у цій галузі).

SAT

$\text{SAT}$ - це сукупність усіх насичених наборів лямбда-виразів. Для другого рядка мого виведення: Правило введення змінних системи чистого типу. Це правило читається

\frac{Γ ⊢ T : s}{Γ, x : T ⊢ x : T}

$\frac{\Gamma \vdash T:s}{\Gamma,x:T\vdash x:T}$ де

s

$s$ є якась.

— гельмут

Я розумію, як ви отримали другий рядок, але це не правильна передумова для формування третього рядка, чи не так? Яке правило дає третій рядок.

— Андрій Бауер

Правило формування продукту PTS говорить

\frac{r (s_{1}, s_{2}, s_{3}; Γ ⊢ A : s_{1}; Γ, x : A ⊢ B : s_{2}}{Γ ⊢ (Π x : A . B) : s_{3}}

$\frac{r(s_1,s_2,s_3;\, \Gamma\vdash A:s_1;\: \Gamma,x:A\vdash B:s_2}{\Gamma\vdash (\Pi x:A.B): s_3}$ . Облік конструкцій має правило

r (*, *, *)

$r(*,*,*)$ . Це дозволяє мені використовувати перший і другий рядок для отримання третього. Однак у мене на посаді був помилковий помилок. Тип у третьому рядку відсутній, який я додав зараз.

— Гельмут

Не повинен тоді читати перший рядок

[] ⊢ * : *

$[] \vdash * : *$ ? Або ти змішався

*

$*$ і

◻

$\Box$ десь? Другий рядок не може бути другою передумовою правила формування продукту, тому що це означає, що ви намагаєтесь сформувати щось подібне

\prod α : * . α

$\prod \alpha : * . \alpha$ замість

\prod α : * . *

$\prod \alpha : * . *$ .

— Андрій Бауер

На жаль, я не впевнений, що є більше ресурсів для початківців, ніж на рахунку Geuvers. Ви можете спробувати цю замітку від Кріса Касінгхіно, в якій викладено декілька доказів із сумнівними деталями.

Я не впевнений, що я розумію суть вашої плутанини, але я думаю, що важливе, що слід зазначити, це наступна лема (слідство 5.2.14), доведена в класичному тексті Барендрегта :

Γ ⊢ M : T \Rightarrow Γ ⊢ T : * or ◻

$\Gamma \vdash M:T\ \Rightarrow\ \Gamma \vdash T:*\mbox{ or }\square$

Це означає, що поки $[\![T]\!]_\xi$ може бути якась складна функція, якщо $\Gamma \vdash M:T$ утримує, значить $[\![T]\!]_\xi$ має бути сукупністю термінів .

Про це йдеться у контурі (розділ 3.1), де $(\!|t|\!)_\sigma\in[\![T]\!]_\xi$ тільки якщо $\Gamma \vdash t:T :*$ , що вирівнюється з нашим очікуванням, що полягає в тому, що інтерпретація типу повинна бути набором термінів, тобто ${\cal V}(*)\subseteq{\cal P}(\mathrm{Term})$ (дійсно, ${\cal V}(*)=\mathrm{SAT}$ !)

Типова ситуація в теорії типів, що, хоча нас цікавить лише "базовий вид" (тут) $*$ ), нам ще належить визначити семантику для речей вищих видів (звідси необхідність ввести $\mathrm{SAT}^*$ ). Тоді речі складаються наприкінці, тому що єдиний вид, який населяють типи, є $*$ (і $\square$ , але це не дуже важливо).

— коді
джерело

Дякую за пояснення. Це вирішує мою проблему нерозуміння функцій, використаних у доказі Джувера. У мене вже були підозри в читанні та перечитуванні паперів Джувера, але ви зробили це кришталево зрозумілим.

— Гельмут