П і описова складність

У зоопарку складності сказано [ 1 ], що в описовій складності $P$ можна визначити трьома різними видами формул, $FO(LFP)$ який також є $FO(n^{O(1)})$ , а також як $SO(HORN)$ .

Однак є деякі винятки, наприклад, $Evenness$ не можна виразити FP (FP має ту саму виразну силу з LFP). $Connectivity$ і $2-colourability$ не визначаються логікою першого порядку. Деякі проблеми навіть не можна аксіоматизувати за допомогою кінцевої кількості змінних, таких як $Evenness$ ,$Perfect~Matching$ ,$Hamiltonicity$ .

Іммерман запропонував, що логіка + підрахунок з фіксованою точкою (FPC) може бути можливою логікою для захоплення P.

Однак Cai Furer, Immerman показав, що існують властивості графа поліноміального часу, які не є вираженими у FPC [ 2 ]. Проблема розв’язування лінійних рівнянь над полем двох елементів не визначається в інфінітарній логіці підрахунком [ 3 ]. Для отримання детальної інформації можна звернутися до [ 4 ].

Отже, яка логічна структура може взагалі захопити P? Позитивна відповідь полягає в тому, що клас упорядкованих кінцевих структур можна визначити якнайменше з логікою з фіксованою точкою, якщо і лише тоді він може бути вирішений у P Іммерманом [ 5 ] та Варді [ 6 ]. Як щодо невпорядкованого випадку? Чи можете ви показати більше зустрічних прикладів твердження у зоопарку складності?

Нещодавно Мартін Грое досяг значного прогресу в цьому питанні. Він дає логіку фіксації поліноміального часу на класах графіків, вбудованих у нерухому поверхню: https://dl.acm.org/citation.cfm?doid=2371656.2371662 Редагувати: загальний вигляд здається невирішеним (але я ні в якому разі експерт з цього питання).