Який найважчий приклад для групової проблеми ізоморфізму?

Кажуть, що дві групи і є ізоморфними, якщо існує гомоморфізм від до який є бієктивним. Проблема групового ізоморфізму полягає в наступному: задавши дві групи, перевірте, є вони ізоморфними чи ні. Існують різні способи введення групи, два з яких в основному використовуються таблицею Кейлі та генеруючим набором. Тут я припускаю, що вхідні групи даються їх таблицею Кейлі. Більш офіційно:$(G,\cdot)$$(H, \times)$$G$$H$

$\textbf{Group Isomorphism Problem}$

$\textbf{Input : }$ Дві групи та .$(G,\cdot)$$(H,\times)$

$\textbf{Decide : }$ Чи ?$G \cong H$

Припустимо, що$n = |G| = |H|$

Проблема групового ізоморфізму, коли вхідні групи задані таблицею Кейлі, як відомо, загалом не міститься у . Хоча існують групові класи на кшталт абелевого групового класу, для яких проблема, як відомо, знаходиться в поліноміальному часі, групи, які є розширенням абелевої групи, простими групами і т.д. відомий.$\textbf{P}$

Алгоритм грубої сили для групового ізоморфізму задається Таржаном, який полягає в наступному. Нехай і дві вхідні групи, і нехай породжує безліч групи . Загальновідомий факт, що кожна кінцева група допускає генеруючу множину розміру яку можна знайти в поліноміальний час. Кількість зображень породжувального набору в гомоморфізмі від до дорівнює багато. Тепер перевірте, чи є кожен можливий гомоморфізм бієктивним чи ні. Загальний час виконання буде .$G$$H$$S$$G$$\mathcal{O}(\log n)$$S$$G$$H$$n^{\log n}$$n^{\log n + \mathcal{O}(1)}$

Дозвольте спочатку визначити центр групи :$G$

$Z(G)$G G G / Z ( G ) позначає елементи групи , перестановочний з усіма іншими елементами групи . Групи, для яких (/ використовується для коефіцієнта) є абелевим, відомі як нільпотентні групи двох груп. Мені здається, що нільпотентні групи двох класів є найважчими прикладами для вирішення проблеми групового ізоморфізму. Сенс "найважчих випадків" полягає в тому, що: вирішення цього випадку дозволить дослідникам, які працюють в теорії груп, вирішити проблему ізоморфізму великої кількості груп.$G$$G$$G/Z(G)$

Спочатку я вважав, що прості групи є найважчими екземплярами, оскільки вони будують блоки всіх груп, але пізніше дізналися, що проблема ізоморфізму для простих груп знаходиться в .$\textbf{P}$

Питання : Який найважчий приклад для проблеми групового ізоморфізму?

$p$ -групи класу 2 та експоненти$p$ вважаються найважчим випадком групового ізоморфізму (). (Длянам потрібно врахувати експонент 4, оскільки всі групи експонента 2 є абелевими - легке вправа для читача.) Хоча поки загального GpIso до цього класу груп не існує (хоча див. Пункт 0.5 нижче) ), існує кілька причин такої віри. Дозвольте мені окреслити деякі з них тут.$p > 2$$p=2$

0) Практичний досвід (див. Роботи Ньюмена, Ейка, О'Браєна, Холта, Кеннона, Вілсона, ... які дають алгоритми, реалізовані в GAP та MAGMA).

0,5) [EDIT: додано 8/19/19] зменшення. Коли такі $p$ -групи задаються, генеруючи множини матриць над $\mathbb{F}_p$ , проблема є $\mathsf{TI}$ -повною [ G.-Qiao '19 ]. Також (див. Пункт (4) нижче) ізоморфізм $p$ -груп експонента і класу зводиться в полі час до ізоморфізму p -груп експонента p і 2 класу (там же).$p$$c < p$$p$$p$

1) Структура (звести до розв’язуваної, потім до $p$ -групи). Кожна кінцева група містить унікальну максимальну розв’язувану нормальну підгрупу, яку називають розчинним радикалом, позначається $Rad(G)$ . $G/Rad(G)$ не містить нормальних абелевих підгруп, і ізоморфізм таких груп може бути ефективно впорядкований на практиці ( Cannon-Holt J. Symb. Comput. 2003 ) та теоретично ( Babai-Codenotti-Qiao ICALP 2012 ). Навіть для груп, де $Rad(G)$ є абелевим, деякі з них можна обробляти в $n^{O(\log \log n)}$ час (G-Qiao CCC '14, SICOMP '17) - значить, не зовсім поліном, але набагато ближче, ніж$n^{\log n}$ . Отже, основною перешкодою є вирішальні (звичайні підгрупи). Зараз у межах розв’язуваних груп існує багато структури - починаючи з того, що кожна розв’язувана група єв'язаним продуктомсвоїх Sylow$p$-підгрупп - і, здається, найважчими випадками є$p$-групи.

2) Підрахунок. Кількість груп порядку $n$ дорівнює $\leq n^{(\frac{2}{27} + o(1))\mu(n)^2}$, де$\mu(n)$- найбільший показник будь-якого простого поділу$n$(Pyber, 1993). Кількість$p$-груп порядку$n=p^m$становить щонайменше$p^{(\frac{2}{27} + o(1))m^2}$(Хігман 1960). Отже, ви бачите, що коефіцієнт провідних доданків у показниках відповідає. У цьому сенсі "більшість" груп - це$p$-групи (навіть 2 класу та експонента$p$). Існує давня гіпотеза, яка говорить про те, що "більшість" у попередньому слабкому сенсі можна посилити, сказавши, що частка груп порядку$\leq n$які є$p$-групами, має тенденцію до 1, як$n \to \infty$.

3) Універсальність (/ дикість). Надання класифікації $p$ груп означало б класифікацію всіх модульних уявлень будь-якої кінцевої групи (або навіть артиніальної алгебри) за характеристикою $p$ ( Сергійчук, 1977 ).

4) Гнучкість. Чому $p$ -групи 2 класу, а не вищого класу? (Зауважимо , що $p$ -груп майже-максимального класу, так звані «малі CoClass», які по суті були класифіковані, Eick і Leedham-зелений 2006 , див також деякі відповіді тут .) Для будь-якого $p$-групу можна асоціювати градуйоване кільце Лі, де дужка в кільці Лі відповідає комутатору в групі. Асоціативність у групі передбачає ідентичність Якобі для дужки, тим самим породжуючи справжнє кільце Лі. Однак зауважте, що коли група є класом 2, тотожність Якобі тривіально задовольняється (всі її умови автоматично дорівнюють 0), тому це не створює додаткових обмежень для структури. Це в основному відповідає довільній кососиметричній білінеарній карті. Для $p$ -груп експоненти $p$ , є навіть скорочення від класу $c < p$ до класу 2.