Застосування алгебраїчної геометрії в теорії типів / теорії мови програмування

Останнім часом я зацікавився алгебраїчною геометрією і почав її читати. Я все ще знаю дуже мало про це поле, але я хочу знати, чи воно має зв'язок з моїм основним полем, теорією типів та мовами програмування.

Я знаю, що алгебраїчна топологія має багато застосувань у теорії типів (теорія типу гомотопії та багато інших), але як бути з алгебраїчною геометрією, окрім того, що і теорія типів / теорія PL та AG є хорошими мотиваторами теорії категорій?

Наскільки мені відомо (що, безумовно, є неповним), над цим було проведено порівняно мало роботи, імовірно, тому що це вимагає засвоєння двох відносно складних тіл знань. Однак мало що не означає неіснуючого. Тьєррі Кокенд та його співробітники написали чимало робіт про зв’язки комутативної алгебри та конструктивної логіки.

• Тьєррі Кокванд, Анрі Ломбарді. Логічний підхід до абстрактної алгебри .

  Цей документ справив величезне враження на мене, як на студента ступеня - впевнений і вільний шлях того, що він використовував ідеї з теорії доказів та теорії моделей, щоб робити нетривіальне, правильна математика - це те, чим я дуже захоплювався, і до якого я все ще прагну.

• Анрі Ломбарді та Клод Квітте мають підручник (у вільному доступі), Комутативна алгебра: Конструктивні методи .

  Як випливає з назви, це комутативна алгебра, а не алгебраїчна геометрія, але оскільки комутативна алгебра забезпечує значну частину інфраструктури для алгебраїчної геометрії, це все ще буде цікавим.

Також є низка дуже цікавих кандидатських дисертацій у цій галузі:

• Кандидатська дисертація Андреса Мерберга Формування вдосконалень та конструктивної алгебри в теорії типів

  Після того, як у вас є конструктивний доказ, ви отримали алгоритм. Ця теза розглядає ефективність цих алгоритмів.

• Кандидатська дисертація Басселя Маннаа, семантика снопа в конструктивній теорії алгебри та типу

  У цій тезі він доводить конструктивність правильності теореми Ньютона-Пузо, а також незалежність принципу Маркова. Він пропонує чудовий приклад того, як придатні семантичні методи мають застосування як в геометрії, так і в логіці.

• Кандидатська дисертація Інго Блешшмідта, використовуючи внутрішню мову топосів в алгебраїчній геометрії,

  Ця теза розглядає перегляд багатьох звичних доказів алгебраїчної геометрії у внутрішній мові топосів маленьких Заріських, пов'язаних зі схемою, що дає своєрідну "синтетичну алгебраїчну геометрію". (Він також робить "теорію синтетичних схем", використовуючи великий топос Заріскі). Як можна було б очікувати, оскільки топої загалом не булеві, докази повинні бути виконані в інтуїтивістському стилі.

Варто також вказати таку посилання:

• Сондерс Мак Лейн, Айке Моєрджик. Снопи в геометрії та логіці Снопи в геометрії та логіці: перший вступ до теорії топосу .

  Багато технологій, що використовуються в цій роботі, надходять через зв'язки між теорією топосу, логікою та геометрією. Це стандартна довідка, хоча я здебільшого дізнався її через папери Стіва Вікерса.

Це може бути не саме те, що ви шукаєте, але одне застосування алгебраїчної геометрії в мовах програмування - це аналіз лінійних циклів:

Лінійний цикл - це дуже проста програма форми:

$x=s$

Поки $x\notin F$

$x\leftarrow Ax$

Де $s,x\in \mathbb Q^d$ і $A\in \mathbb Q^{d\times d}$є матрицею. Набір$F$ - це умова, що закінчується, яка може бути просто описаним набором (наприклад, багатогранник або напівалгебраїчний набір).

Аналіз цих циклів часто зводиться до аналізу орбіти матриці$A$, а саме $\{A^ns: n\in \mathbb N\}$. Це, у свою чергу, передбачає аналіз повноважень власних значень Росії$A$, поведінка якої тісно пов'язана з поняттями алгебраїчної геометрії (наприклад, теорема основи Массера).

Ви можете подивитися на статтю Про складність проблеми орбіти як на хороший вихідний пункт.