Питання про дві матриці: Хадамар проти «чарівної» у доказ гіпотетичної чутливості

Нещодавнє і неймовірно хитро доказ гіпотези на чутливість покладається на явну * побудову матриці $A_n\in\{-1,0,1\}^{2^n\times 2^n}$ , визначену рекурсивно так: і для , Зокрема, легко побачити, що для всіх .

$$A_1 = \begin{pmatrix} 0&1\\1&0\end{pmatrix}$$ $n\geq 2$ $$A_{n} = \begin{pmatrix} A_{n-1}&I_{n-1}\\I_{n-1}&-A_{n-1}\end{pmatrix}$$ $A_n^2 = n I_n$$n\geq 1$

Зараз, можливо, я занадто багато читаю в цьому, але це виглядає, принаймні, синтаксично пов'язане з іншою відомою родиною матриць, матрицями Адамара, яка також така, що і має "схожий" спектр: і, для , $H_n^2 \propto I_n$

$$H_1 = \begin{pmatrix} 1&1\\1&-1\end{pmatrix}$$ $n\geq 2$ $$H_{n} = \begin{pmatrix} H_{n-1}&H_{n-1}\\H_{n-1}&-H_{n-1}\end{pmatrix}$$

Чи існує якийсь офіційний зв’язок, можливо, корисний між ними, за винятком того, що "вони виглядають нечітко схожими"?

Наприклад, розглядається як підписана матриця суміжності гіперкуба має приємну інтерпретацію (знак ребра - парність префікса ). Чи є аналог для ? (це може бути очевидно?)$A_n$$\{0,1\}^n$$(x,b,x')\in\{0,1\}^n$$x$$H_n$

$^*$ Мені також цікаво, чи не явна побудова, наприклад, рівномірна випадкова матриця , мала б бажані спектральні властивості, але, мабуть, доведеться чекати іншого питання.$\pm1$

Спостереження занадто довге для коментаря (і воно також добре вписується в спостереження Джейсона Гайтонде - занадто довго-для коментаря):

Як натякнуто в ОК, і те, і інше може бути реалізовано дуже простим видом рекурсивної конструкції. А саме ми задаємо $B_0 \in \{(0), (\pm 1)\}$ ( матриця $1 \times 1$ ), а потім єдину рекурсивну формулу

$$B_n = \left(\begin{array}{cc} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{array}\right)$$

де кожен $b_{ij}$ - один із $\{0, \pm 1, \pm x\}$ (де тут "1" позначає тотожність відповідного розміру, а саме $2^{n-1} \times 2^{n-1}$ , а аналогічно "0" позначає нуль матриця відповідного розміру, а $x$ позначає $B_{n-1}$ ). Для матриць Хуана насправді маємо $A_0 = (0)$ а рекурсивна формула $\begin{bmatrix} x & 1 \\ 1 & -x \end{bmatrix}$, тоді як для матриць Адамара маємо$H_0 = (1)$а рекурсивна формула дорівнює$\begin{bmatrix} x & x \\ x & -x \end{bmatrix}$.

Якщо потрібно, щоб така рекурсія мала властивість, що $B_n^2$ пропорційна $I_{2^{n}}$ , тоді швидко виявляється, що або $b_{11} + b_{22} = 0$ , або $b_{12} = b_{21}=0$ . В останньому випадку рекурсія дає лише діагональні матриці, що, можливо, не так цікаво. Тож цікавими є випадки, у яких $b_{11} = -b_{22}$(що є однією з умов «приємності» у відповіді Джейсона). Це також можна розглядати як загальне пояснення того, чому обидві послідовності матриць безслідні.

Як останній невеличкий коментар, такий вид рекурсії автоматично призводить до того, що блокові записи $B_n$ comute, що було іншим умовою «приємності» у відповіді Джейсона.

Я ще не робив систематичного дослідження, але з огляду на вищенаведене налаштування, можна було б дослідити безмежно багато можливостей (3 варіанти для $B_0$ , а технічно $5^4$ варіанти для рекурсії, але це можна вирішити за допомогою симетрії, а також з обмеження, які $B_n^2$ пропорційні тотожності). Було б дуже приємно дізнатись, що матриці Адамара та Хуанга є якимось, аж до еквівалентності, єдиними двома нетривіальними :). А якщо ні, то, можливо, там ховаються ще якісь цікаві ...

Ось лише кілька зауважень, які я не міг вмістити в коментарі:

0) долучення тому , що перша відповідь був видалений: є інтерпретація $H_n$ , а саме, індексації рядків і стовпців з допомогою $\{0,1\}^n$ , запис , відповідна $(x,y)$ є $1$ , якщо твір Адамара $x\odot y=(x_1y_1,\ldots,x_n y_n)$ має парний паритет і $-1$ якщо він має непарний паритет.

1) Взагалі спектр блок-матриць може бути дуже складним і не очевидно пов'язаним зі спектрами окремих блоків, оскільки характеристичний многочлен буде виглядати жахливо . Але для симетричної блокової матриці $M=\begin{pmatrix} A & B\\ B^T & C\end{pmatrix}$ яка може виникнути через рекурсивної конструкції, як $A_n$ і $H_n$ вище, де кожна матриця є квадратною, одне з єдиних спрощень відбувається, коли $B^T$ і $C$ рухаються, в такому випадку один має $\det(M)=\det(AC-BB^T)$ . Тоді характерним многочленом$M$ буде

$$\det((\lambda I-A)(\lambda I-C)-BB^T)=\det(\lambda^2I-\lambda (A+C)+AC-BB^T).$$ Щоб це призвело до приємних рекурсивних формул для власних значень, в основному потрібно$C=-A$ для вбивства лінійногочлена$\lambda$ . Якщо подальші$A$ і$B$ симетричні і комутовані, отримуємо $$\det(\lambda I-M)=\det(\lambda^2 I-(A^2+B^2)),$$ з якого легко зчитувати власні значення, використовуючи фактичні симетричні матриці комутування звичайна власна система. Це може бути очевидним, але все це означає, що для отримання хороших, рекурсивних формул для власних значень, в основному важливо вимагати, щоб нижній правий блок був$-A$ і сподіваємось, що нижній лівий і верхній правий блоки симетричні та комутуються з$A$ , що стосуєтьсяматриць$A_n$ (з$B=I$ ) та$H_n$ (з$B=H_{n-1}=A$ ).

2) Щодо питання про випадкові знаки: підписання матриці суміжності, наведеного у статті, є оптимальним у сенсі максимізації $\lambda_{2^{n-1}}$ , яке необхідне для нижньої межі через переплетення Коші, і видно з елементарних засобів. Для довільного підписання $M_n$ матриці суміжності $n$ -вимірного гіперкуба відразу отримується

$$\text{Tr}(M_n)=\sum_{i=1}^{2^n} \lambda_i(M_n)=0,\quad \text{Tr}(M_n^2)=\sum_{i=1}^{2^n} \lambda_i(M_n)^2=\|M_n\|_F^2=n2^n,$$ де$\lambda_1(M_n)\geq \lambda_2(M_n)\geq\ldots\geq \lambda_{2^n}(M_n)$ . Якщо для якогось підпису$M_n$один має $\lambda_{2^{n-1}}(M_n)>\sqrt{n}$ , то $$\sum_{i=1}^{2^{n-1}} \lambda_i(M_n)>\sqrt{n}2^{n-1},\quad \sum_{i=1}^{2^{n-1}} \lambda_i(M_n)^2>n2^{n-1}.$$ Тоді можна бачитице неможливим задовольнити слідові рівності вище: негативні власні значення повинні підвести строго більшеніж$\sqrt{n}2^{n-1}$ (в абсолютній величині), а їхні квадрати повинні дорівнювати строго менше$n2^{n-1}$ . Мінімізація суми квадратів, зберігаючи постійну суму, відбувається тоді, коли всі вони рівні, але в цьому випадку сума квадратів все одно зробить занадто великою. Отже, для будь-якого підписання видно за допомогою елементарних засобів, що$\lambda_{2^{n-1}}(M_n)\leq \sqrt{n}$ не знаючи магічного підпису в роботі, де рівність виконується, якщо значення знаходяться$\sqrt{n},\ldots,\sqrt{n},-\sqrt{n},\ldots,-\sqrt{n}$ . Те, що насправді існує таке підписання, є надзвичайно дивовижним. Власні значення нормальної матриці суміжності$-n, -n+2,\ldots,n-2,n$, де$i$-то власне значення має кратність${n\choose i }$ , тому мені дуже цікаво (як би то не було), якпідписall-$+1$максимізує$\lambda_1$, тоді як цей підпис максимізує$\lambda_{2^{n-1}}$.

Що стосується роботи у випадковому підписанні, важче сказати, тому що я думаю, що більшість несимптомних меж власних значень фокусується на спектральній нормі. Очікується, що випадкові підписи згладять крайні звичайні власні значення, і справді, використовуючи некомутативну нерівність хінтчину та / або останні більш жорсткі межі, як тут , рівномірно випадкове підписання має $\mathbb{E}[\|M_n\|_2]=\Theta(\sqrt{n})$. Мені важко уявити, що середні власні значення будуть у подібному поліноміальному порядку, як і провідні в очікуванні (а асимптотичні результати, як напівкруглий закон для різних матричних ансамблів, підказують аналогічно), але, можливо, це можливо.