Ефективний ізоморфізм графа для подібних графічних запитів

Враховуючи графіки G1, G2 і G3, ми хочемо провести тест ізоморфізму F між G1 і G2, а також G1 і G3. Якщо G2 і G3 дуже схожі на такий, що G3 утворюється, видаляючи один вузол і вставляючи один вузол з G2, і у нас є результат F (G1, G2), чи можемо ми обчислити F (G1, G3), не обчислюючи його з нуля шляхом розширення будь-яких існуючих сучасних методів?

Наприклад, якщо G2 утворений вузлами 2,3,4,5, а G3 утворено вузлами 3,4,5,6, чи можемо ми використати результат F (G1, G2) для обчислення F (G1, G3) ефективніше?

graph-theory graph-algorithms graph-isomorphism

— Ерік Хуан
джерело

На даний момент у мене немає аргументів. Але я відчуваю, що ваша проблема морально пов'язана з гіпотезою реконструкції ( en.wikipedia.org/wiki/Reconstruction_conjecture ).

— Ісін Цао

Це просте скорочення поліноміального часу, щоб показати, що проблема GI завершена : навіть якщо ви знаєте, що є ізоморфними, перевірка того, чи , побудований з видалення та додавання вузла, є ізоморфним само важко, як ізоморфізм графіка себе (в гіршому випадку). $G_1, G_2$ $G_3$ $G_2$ $G_1$

Дано два графіки побудова $G = (V, E), G'= (V', E')$

$G_1 = ( V \cup V' \cup \{u\},\; E \cup E' \cup \{ (v_i,u) \mid v_i \in V \})$

тобто об'єднання двох графіків плюс додатковий вузол з'єднаний з усіма вершинами $u$ $V$

виберіть ; і чітко вони ізоморфні. $G_2 = G_1$

Тепер побудуйте видаляючи та додаючи пов'язані з усіма вершинами : $G_3$ $u$ $u'$ $V'$

$G_3 = ( V \cup V' \cup \{u'\},\; E \cup E' \cup \{ (v_i',u') \mid v_i' \in V'\} )$

$G_1, G_3$ є ізоморфними iff ізоморфними. $G, G'$

— Марціо Де Біасі
джерело

Це приємне зменшення! Однак я хочу додати, що повна повнота GI не означає, що немає переваги, лише в тому, що в гіршому випадку їх складності поліноміально пов'язані. В якості іншого прикладу зауважте, що GI з кольором вершин також є повноцінним GI, але більшість алгоритмів, про які я знаю, все ще можуть корисно використовувати корисні вершини.

— Джошуа Грохов

@JoshuaGrochow: спасибі, я уточнив цю точку.

— Marzio De Biasi

@MarzioDeBiasi: дякую за пояснення. Виходячи з мого розуміння ваших пояснень, ми не можемо скористатися обчисленням F (G1, G3), знаючи F (G1, G2), якщо вершини, підключені до u і u ', різні (не обов'язково пов'язані з усіма вершинами V або V ') навіть якщо ми знаємо, що G і G' є ізоморфними. Це правильно? Чи є в цьому випадку ця проблема настільки ж важкою, як і сам ізоморфізм графа?

— Ерік Хуанг

@EricHuang: скорочення говорить про те, що з урахуванням двох ізоморфних графіків та явного способу побудови шляхом видалення / додавання одного вузла (та деяких ребер) до проблема перевірки того, чи є ізоморфними настільки ж важкими, як ізоморфізм графіка . До речі, цей результат також поширюється на пов'язану проблему обіцянки, у якій вам не надано явного способу побудови , а лише обіцянку, що є ізоморфними аж до операції видалення / додавання вузла.

G_{1}, G_{2}

$G_1, G_2$

G_{3}

$G_3$

G_{2}

$G_2$

G_{1}, G_{3}

$G_1, G_3$

G_{3}

$G_3$

G_{1}, G_{3}

$G_1,G_3$

— Марціо Де

Ви можете спробувати метод Weisfeiler-Lehman або його варіації, особливо якщо ваші оригінальні графіки мають такі структури, як плоский, дерево, інтервальний графік або обмежений графік ширини, їх розмір Weisfeiler-Lehman - це невелика константа, на кроці уточнення, я думаю, ви можете скористайтеся співвідношенням між двома графіками.

— Rupei Xu