Доведення для верхньої межі задачі про квадратні корені

У [1], Гарей та ін. визначте, що пізніше отримало б назву «Сума квадратних коренів» під час опрацювання NP-повноти Євклідової ЦСП.

Враховуючи цілі числа та , визначте,$a_1, a_2, \ldots, a_n$$L$$\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} + \cdots + \sqrt{a_n} < L$

Вони відзначають , що це навіть не очевидно , що ця проблема знаходиться в НП , тому що не ясно , що мінімальні цифри точності необхідні обчислення квадратних коренів досить порівняти суму . Однак вони цитують найвідомішу верхню межу де - кількість цифр у вихідному символічному виразі. На жаль, ця верхня межа приписується лише особистому спілкуванню А.М.Одлізка.$L$$O(m2^n)$$m$

Хтось має належне посилання на цю верхню межу? Або, за відсутності опублікованої посилання, корисним може бути також доказ чи ескіз.

Примітка: Я вважаю, що ця межа може бути зроблена як результат більш загальних результатів Bernikel et al. ін. [2] приблизно від 2000 року на межі поділу для більшого класу арифметичних виразів. Мене найбільше цікавлять більш сучасні посилання (тобто, що було відомо приблизно в 1976 р.) Та / або докази, спеціалізовані лише на випадку суми квадратних коренів.

1. Гарі, Майкл Р., Рональд Л. Грехем та Девід С. Джонсон. " Деякі NP-повні геометричні задачі ." Матеріали восьмого щорічного симпозіуму ACM з теорії обчислень. ACM, 1976.

2. Бурнікель, Крістоф та ін. " Сильний і легко обчислюваний поділ для арифметичних виразів, що включають радикали ". Algorithmica 27.1 (2000): 87-99.

Ось досить неохайний ескіз. Нехай де . Це алгебраїчне число градусів не більше і висота не більше . Тепер легко перевірити, чи (це можна зробити навіть у - див. Це ). Якщо то воно обмежене від величиною (тому що це алгебраїчне число і, отже, це ненульовий корінь однофакторного многочлена), який є функцією ступеня і висоти мінімального многочлена$S = \sum_{i=1}^n \delta_i \sqrt{a_i}$$\delta_i \in \{\pm 1\}$$2^n$$H = (max(a_i))^{n}$$S = 0$$TC^0$$S \neq 0$$0$$S$. На жаль, залежність від ступеня є експоненціальною у кількості квадратних коренів (і якщо є різними примерами, цей ступінь пов'язаний навіть жорстко, хоча цей випадок оцінки знаків легко обробити). Отже, необхідна точність є експоненціальною в кількості квадратних коренів, що для дорівнює бітів . Тепер достатньо обрізати кожен з щоб сказати$a_i$$2^n$$S$$\sqrt{a_i}$$2^{10n}$біти, щоб гарантувати правильність знаку. Це легко зробити за допомогою многочлена багатьох етапів ітерації Ньютона). Тепер справа в тому, щоб перевірити, чи сума позитивна, що є лише додаванням і, отже, лінійною за кількістю бітів у звітах. Зауважте, що це обчислення проводиться в поліноміальний час на машині BSS. Також зауважте, що ми не робимо жодних обчислень безпосередньо з мінімальним многочленом самого , який міг би мати величезні коефіцієнти і виглядати потворно, ми просто використовуємо це для міркування про точність, до якої нам потрібно обрізати квадратні корені. Для отримання більш детальної інформації дивіться папір Тіварі .$S$