Яка природна проблема в теорії обчислення?


11

У статті Стівена Кука про проблему Р проти НП [1] він констатує наступне [2]:

Теза техніко-економічного обґрунтування: природна проблема має здійсненний алгоритм, якщо вона має алгоритм поліноміального часу.

Моє запитання: що саме він (або взагалі взагалі насправді, що означає) означає " природну проблему"? Говорити про природні проблеми, здається, досить часто, але я ще не маю визначення. Мені здається, чогось бракує. Ось кілька можливих відповідей, про які я думаю:

Перший можливий відповідь

У своїй роботі Кук каже, що "природне" треба пояснити. Він каже, "як правило, ми не вважаємо клас із параметром природним, як, наприклад, набір графіків, вбудованих на поверхню роду k , k > 1". [3] Тепер, спочатку, це, здається, говорить про що " природне "- це не те, що є; але якщо кожна проблема є природною чи ні, і це повністю описує всі неприродні проблеми, то цього було б достатньо, щоб визначити природне. (Але класифікатор "загалом" припускає, що це не достатній і необхідний опис проблем, які не є природними.)

Я думаю, що "класи з параметрами" мають на увазі простежуваність фіксованих параметрів, під якою ми маємо на увазі проблеми, які мають можливі входи, обмежені таким чином, що техніко-економічна спроможність вимушена. Таким чином, ми можемо вирішити задачу з рубанням [4] за допомогою алгоритму поліноміального часу, якщо ми фіксуємо вагу, яку може носити рюкзак (але загалом у поліномі-часі немає рішення). Маючи це на увазі, я вважаю, що бути "природним" означає, що проблема не обмежується ("штучно" обмежується?) Таким чином, що вимушує алгоритм поліноміального часу виходити з проблеми, нерозв'язуваної в поліноміальний час.

The reason I am not certain this the right way to understand Cook's notion of "natural" is that I'm not absolutely sure what the qualification "natural" is doing here. If you drop "natural," then you get "a problem has a feasible algorithm iff it has a polynomial-time algorithm." But this seems perfectly reasonable: the knapsack problem does not have a feasible algorithm because it does not have a polynomial-time algorithm; the knapsack-with-fixed-paramater-tractability has a feasible algorithm because it has a polynomial-time algorithm. Both accounts seem to be in accord with the notion of what a problem with a feasible algorithm is.

Я вважаю, що це може бути найкращим посібником для розуміння того, що означає Кук, адже Кук насправді обертається і визначає це. Я також вважаю, що це поняття природного охоплене цим питанням StackExchange. [5}

Але є й інше.

Другий можливий відповідь

У своїй роботі «Класифікація проблем на класи складності» Вільям Гасарх [6] говорить, що він проведе «дослівне обговорення, що є природною проблемою» [7]. В кінці статті [8] відбувається обмін у формі діалогу, де один спікер говорить:

"Що робить проблему природною? З одного боку, я не побудував проблему з єдиною метою - не бути в П. Отже, це не проблема тупої дупи. Чи піднімається вона тоді до рівня природності?"

Тож мені здається, що Гасарх говорить, що якщо у нас є проблема, яка не побудована навмисно, щоб ми могли сказати, що її немає в P, то це природно. Тож, маючи трохи творчої інтерпретації, схоже, що Гашар говорить щось, принаймні, узгоджується з Куком: з одного боку, Гашар каже, що не побудовано єдину мету, не будучи в Р, робить проблему не природною; а з іншого боку Кук каже, що проблема природна, якщо вона не має параметрів. Але проста послідовність не дає визначення.

Третя можлива відповідь

У статті Вікіпедії для "добре поставленої проблеми" [9] подано визначення поняття Жак Хадамар про добре поставлену проблему, потім зазначається, що добре поставлена ​​проблема "може розглядатися як" природна "проблема в тому, що існують фізичні процеси, змодельовані цими проблемами ". Отже, проблема природна, якщо і лише якщо вона моделює фізичний процес?

Кваліфікація Адамара, згідно Вікіпедії, є (i) рішення існує, (ii) рішення є унікальним, і (iii) поведінка рішення постійно змінюється з початковими умовами. Це, здається, відрізняється від двох інших визначень. Моє відчуття полягає в тому, що "природне" не використовується точно так само (особливо якщо ми погоджуємось з інтерпретацією того, що проблема є природною і лише тоді, коли вона моделює фізичний процес), але я хотів включити її, тому що я зіткнувся з це в моєму дослідженні з цього питання, і є точки дотику.

Отже, моє запитання: що таке природна проблема? Чи правильна будь-яка з цих відповідей чи їх комбінація? Чи є ще якась відповідь, яку я пропускаю? Дякую.

  1. «Постановка проблеми», 2006 р., Розміщена в Інтернеті на сайті «Математика глини»; назва: "Проблема П проти НП", http://www.claymath.org/sites/default/files/pvsnp.pdf
  2. p. 3
  3. p. 4
  4. https://en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem#0.2F1_Knapsack_Problem
  5. Найважче відома природна проблема в P? Я вважаю, що природна проблема слідує за цим описом, але не обмежує k найбільшою.
  6. https://www.cs.umd.edu/~gasarch/papers/classcomp.pdf
  7. p. 2.
  8. p. 47-8, розділ 25
  9. https://en.wikipedia.org/wiki/Well-posed_problem

Це одне з моїх улюблених запитань про зміну стекстерії. Мені подобається думати, що є кілька розумних відповідей. На перший погляд, ваші відповіді здаються мені розумними. :)
Michael Wehar

Чи можемо ми навести кілька прикладів добре відомих проблем, які є природними, та кілька прикладів добре відомих проблем, які не є природними? Також чи мають природні проблеми якісь властивості закриття?
Майкл Вехар

Я думаю, що ваша перша можлива відповідь - це розумне пояснення, чому Кук не вважає параметризовані проблеми природними. Однак його зауваження щодо параметризованих проблем не повинно бути визначенням. Насправді я згоден з усулом, що Кук не намагався визначити "природне".
Ніколов

Відповіді:


15

Щоб було зрозуміло, це не означає бути формалізованим. Це не теорема, це спостереження про світ - це нормально, якщо "природне" тут є суб'єктивним. Для аналогії, якщо хтось каже, що "диференціація - це механіка, а інтеграція - це мистецтво", вони не пропонують вам формалізувати "механіку" та "мистецтво" і довести твердження, вони намагаються передати загальну перспективу. Тож, можливо, тут вам не вистачає лісу для дерев. [Виноска]

У чому авторський пункт

Давайте слідуємо вашій пропозиції та відкиньмо слово "природне":

Теза техніко-економічного обґрунтування (перший проект): Проблема має здійсненний алгоритм, якщо вона має алгоритм поліноміального часу.

Ну, це технічно неправильно. Зважаючи на теорему про ієрархію часу , ми можемо побудувати довільно важкі задачі в P (наприклад, вимагаючи часу). Але ці проблеми з контрприкладом дуже дивні, самореференційні, наприклад, "чи зупиняється дана машина Тьюрінга на даному вході за кроків?"n1000n1000

Отже, автор вважає, що теза все ще досить точна щодо проблем, які ми насправді хочемо вирішити в реальному світі, та інших проблем, які стикаються "природно" в процесі теорії нескладності. Тож він думає, назвемо ці проблеми "природними" та переглянемо тезу щодо доцільності.

Що є, а не природно

Безумовно, проблема, яка зазвичай виникає на практиці, вважатиметься природною: найкоротші шляхи, сортування, редагування відстані, пошук кореня, продавець подорожей, рюкзак.

Напевно, проблема, яка продумана і визначена спеціально для доведення результату складності та посилається на конкретний клас, не є природною. Наприклад, "чи може ця струна генеруватися машиною Тюрінга в k станах за n час".

Деякі речі менш зрозумілі, як, можливо, лінійне програмування, але я б не переживав над цим. Вивчіть безліч алгоритмів та проблем складності та побачите, чи згодні ви із загальною ідеєю чи чи знайдете приклади, які, на вашу думку, суперечать їй.

(У будь-якому випадку, я вважаю, що маршрут "добре поставленої проблеми", до речі, неправильно, як ви підозрюєте.)


[виноска] Я не хочу відштовхувати вас від спроб формалізувати це, а не від думки, що вам призначено.


4

Це приблизно зводиться до того, чи може визначення проблеми бути круговим:

  • Штучна проблема - це побудована для заповнення критеріїв класу.

  • Природна проблема не покладається на спосіб її побудови для заповнення критеріїв класу.

Конструкція Ладнера, як відомо, є проміжною для NP , за умови існування NPI.

Доведення будь-якого кандидата на природні проблеми NPI виявило б .PNP

Застереження: удача у спробі довести такого кандидата; Це може здатися доступним підходом, але, природно , виробила певні бар'єри на шляху доказування .

Використовуючи наш веб-сайт, ви визнаєте, що прочитали та зрозуміли наші Політику щодо файлів cookie та Політику конфіденційності.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.