Як швидко ми можемо вирішити цілком одномодульну цілолінійну лінійну програму?

(Це продовження цього питання та його відповідь .)

У мене є наступна цілком одномодульна (TU) ціла лінійна програма (ILP). Тут - усі додатні цілі числа, подані як частина вхідних даних. Зазначений підмножина змінних x i j встановлюється нулем, а решта може приймати додатні інтегральні значення:$\ell,m,n_{1},n_{2},\ldots,n_{\ell},c_{1},c_{2},\ldots,c_{m},w$$x_{ij}$

Мінімізуйте

$\sum_{j=1}^{m}c_{j}\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij}$

На тему:

$\sum_{j=1}^{m}x_{ij}=n_{i}\,\,\forall i$

$\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij}\ge w\,\,\forall j$

Коефіцієнтна матриця стандартної форми - матриця із записами з - 1 , 0 , 1 .$(2\ell+m)\times \ell m$${-1,0,1}$

Моє запитання:

Які найкращі верхні межі відомі за тривалістю алгоритмів поліноміального часу, які вирішують таку ІЛП? Не могли б ви вказати на деякі посилання на це?

Я здійснив пошук, але в більшості місць вони зупиняються, говорячи про те, що ILP TU можна вирішити в поліноміальний час, використовуючи алгоритми поліноміального часу для LP. Одне, що виглядало багатообіцяючим, - це праця Тардоса 1986 року [1], де вона доводить, що такі задачі можуть бути вирішені в часі поліном у розмірі матриці коефіцієнтів. Наскільки я міг зрозуміти з статті, час роботи цього алгоритму залежить, в свою чергу, від часу виконання алгоритму поліноміального часу для вирішення LP.

Чи знаємо ми алгоритми, які вирішують цей особливий випадок (TU ILP) значно швидше, ніж загальні алгоритми, що вирішують проблему LP?

Якщо ні,

Який алгоритм для LP вирішив би такий ILP найшвидше (в асимптотичному сенсі)?

[1] Сильно поліноміальний алгоритм для вирішення комбінаторних лінійних програм, Ева Тардос, Operations Research 34 (2), 1986

Я вважаю, що на класі абсолютно одномодульних матриць Яннакакіс дає відповідь на ваше запитання щодо особливого випадку TU ILP (коли у двосторонньому графіку немає непарних циклів, отриманих шляхом бачення матриці коефіцієнтів як матриці суміжності).

У цьому документі є посилання на алгоритми полінома для класу лінійних програм , який, здається, обробляє всі цілком одномодульні матриці, але я не впевнений, наскільки ефективнішим він є порівняно із загальними алгоритмами для LP.

$O([n^3/\ln n]L)$ тут ).

Було показано, що абсолютно одномодульний LP вирішується у сильно поліноміальний час за "припущенням про виродження" - посилання тут (таким чином, якщо ILP має форму абсолютно одномодулярної (TU) з тими ж припущеннями, то цей алгоритм вирішив би ILP TU, сильний час полінома. Це розробка методів Тардоса, яка передбачає більш чіткі межі формулювання ILP TU (повністю одномодулярного).