Чи існує квантовий еквівалент теореми часової ієрархії?

Моя улюблена теорема теорії складності - це теорема ієрархії часу. Однак це було зроблено в 1965 році.

Тоді я хотів дізнатися, чи є щось подібне для квантових обчислень.

Також якщо ні, то які люди / групи працюють у цьому напрямку!

Більш недавнє цитування теорем ієрархії часу - це "Загальна ієрархія часу для семантичних моделей з однією біткою поради" Дітера ван Мельбебека та Костянтина Первишева, яку можна отримати на веб-сторінці Дітера. Методи там дають часову ієрархію з 1 бітом порад для "будь-якої розумної" семантичної моделі обчислень, включаючи квантові алгоритми.

Крім того, отримати ієрархію проблем обіцянки, обчислених семантичними моделями, зазвичай досить легко. Проблема з обіцянкою вимагає лише алгоритму "добре поводитись" (наприклад, мають обмежену помилку) на деяких входах - тих, які обрані частиною проблеми обіцянки. Для входів, не вибраних як частина обіцянки, алгоритм може вести себе довільно (наприклад, не мати обмеженої помилки). Ієрархія проблем із обіцянками - результат фольклору; в розділі "Результати ієрархії простору для рандомізованих та інших семантичних моделей" Дітера ван Мельбібека та Джеффа Кінне (я), який ви можете отримати від Дітера чи моєї веб-сторінки, наведено доказ налаштування BPP. Це має стосуватися і квантових алгоритмів.

Отже, відповідь полягає в тому, що пристойні ієрархічні теореми відомі для квантових алгоритмів, які або отримують 1 біт поради, або дозволяють ігнорувати проблемні дані. Деякі методи цих результатів спираються на властивості рандомізованих алгоритмів. Було б цікаво спробувати і використати властивості квантових алгоритмів в області теорем ієрархії.

Дещо спорідненою областю, де є результати, характерні для квантових алгоритмів, є область нижчих меж часового простору. Існує опитування Дітера ван Мелькебека: "Огляд нижньої межі для задоволеності та пов'язаних з цим проблем".

Відповідь - ні. Ми навіть не маємо теореми про ієрархію часу для імовірнісного поліноміального часу з обмеженою помилкою (тобто BPTIME). Теореми детермінованої та недетермінованої ієрархії часу мають аргумент діагоналізації, який, здається, не працює для семантичних класів. Ось чому у нас немає сильних теорем ієрархії для семантичних класів.

Найкращий результат, про який я знаю, - це теорема про ієрархію для BPTIME з 1 бітом порад: Fortnow, L .; Сантанам, Р. (2004). Теореми ієрархії вірогідного поліноміального часу .

Я не знаю жодної групи, що працює над теоремою квантової ієрархії часу. Я б здогадався, що це тому, що здається, що проблема ієрархії BPTIME легша, тому дослідники натомість атакують цю проблему.

(Дещо пов’язані питання: Чи є синтаксична характеристика для BPP, BQP або QMA? На класах MathOverflow та Semantic vs. Syntactic Complexity на cstheory.)

Недетерміновані квантові часові та простір-обмежені класи - це ті, де мови - це набір рядків, прийнятих квантовими машинами Тьюрінга, що працюють у відповідних межах з ненульовою ймовірністю.

У розділі 8 " Доведення сили постселекції " ми показуємо, що існують жорсткі ієрархії для недетермінованих квантових класів, обмежених часом та простором.