Семантичні та класи синтаксичної складності

У своїй книзі "Складність обчислень" Пападімітріу пише:

RP є в певному сенсі новим і незвичайним видом класу складності. Не будь-яка поліноміально обмежена недетермінована машина Тьюрінга може бути основою визначення мови в РП. Щоб машина N визначала мову в RP , вона повинна мати чудову властивість, яку на всіх входах вона або відхиляє одностайно , або приймає більшістю . Більшість недетермінованих машин поводяться по-іншому хоча б за деякими входами ... Не існує простого способу сказати, чи завжди машина зупиняється із сертифікованим виходом. Ми неофіційно називаємо такі класи семантичними класами , на відміну від синтаксичних класів, таких як P і NP, де ми можемо негайно визначити поверхневу перевірку, чи справді стандартизована машина дійсно визначає мову в класі.

Через кілька сторінок він вказує, що:

мова L знаходиться в класі PP, якщо є недетермінований поліноміально обмежений апарат Тюрінга N таким, що для всіх входів x, iff більше половини обчислень N$x \in L$ на вході x в кінцевому підсумку приймає. Ми говоримо, що N вирішує L більшістю .

Питання 1: Чому Пападімітріу робить висновок, що ПП - синтаксичний клас, тоді як його визначення лише дещо відрізняється від РП ?

Питання 2: Чи "семантичний" для класу складності рівнозначний НЕ мати повних проблем, або відсутність повних проблем розглядається як властивість, якою ми володіємо семантичними класами GUESS?

Редагувати: Див. Пов’язану тему Чи всі класи складності мають характеристику мови листів?

RP передбачає обіцянку, що або 0 шляхів приймають, або більше половини приймають, незалежно від того, який вхід є. Для ПП такої обіцянки немає. Якщо більше половини шляху приймають, то , в іншому випадку х ∉ L . (ППИ можуть бути визначені таким чином , що критерії прийнятності є ≥ 1 / 2 і < 1 / 2 відповідно.)$x \in L$$x \notin L$$\geq 1/2$$< 1/2$

Або іншими словами, якщо я надам вам імовірнісний ТМ, який стверджує, що це машина PP, яка вирішує якусь мову, ви можете бути впевнені, що вона визначає якусь мову. Зрозуміло, що мова, яку він вирішив, ця: Спробуйте ввести . Подивіться, чи приймає більше 1/2 шляхів (або більше 1/2 випадкових рядків спричиняє його прийняття). Якщо так, то х ∈ L . Якщо немає, то х ∉ L . Отже, ми визначили мову за допомогою цієї TM.$x$$x \in L$$x \notin L$

З іншого боку, якщо я надам вам імовірнісний ТМ, який стверджує, що це машина RP, яка вирішує якусь мову, ви навіть не можете бути впевнені, що вона вирішить будь-яку мову. Проблема полягає в тому, що коли ви спостерігаєте лише декілька контурів, що приймають, ви не знаєте, чи в L, чи ні. Тож якщо я дам тобі машину RP, ти просто повинен прийняти моє слово за це. Дійсно, перевірити, чи ця машина визначає мову, неможливо.$x$$L$

Що стосується вашого другого запитання, то для синтаксичних класів зазвичай існує очевидна повна проблема, яка є на зразок "Дана машина M, вирішіть, чи приймає вона вчасно T на вході x". Якщо вам надають недетерміновану машину, ця проблема є NP-повною, якщо вона є PP-машиною, то вона є PP-повною тощо. Таким чином, ми не отримуємо повну проблему безкоштовно для семантичних занять. Але семантичний клас може мати повну проблему. Наприклад, якщо P = BPP (як прийнято вважати), то BPP має синтаксичну характеристику.

EDIT : Оскільки є певна дискусія щодо того, як визначити семантичні та синтаксичні класи, я хотів би зазначити, що Пападімітріу дає визначення у своїй книзі, коли йдеться про мови листів. (Див. Моє запитання щодо мов листків для деяких посилань.)

Він каже, що синтаксичні класи - це ті, для яких існує певна мова, яка визначає клас за допомогою техніки мови листів. Семантичні класи - це ті, для яких усі подібні характеристики потребують проблем з обіцянками. Це чітке визначення, але працює лише для тих мов, які мають характеристики мовних листів.

$PP$$RP$ $PP$$> 1/2$$x$

$P$$NP$$PP$$RP$$RP$$> 1/2$$RP$$Promise-RP$

$P=BPP$ деяких$P=BPP$

Якщо б справді було так, що просто не існує легко обчислюваного списку машин (будь-якого розумного виду), які приймають саме ваш клас, то так, я не думаю, що ваш клас, можливо, не має повноцінної мови. Але це здається дуже важким формалізувати належним чином, не кажучи вже про доведення.