Проблеми оптимізації MSOL на графіках обмеженої ширини чіткості з предикатами кардинальності

CMSOL підраховує монадійну логіку другого порядку, тобто логіку графіків, де домен - це сукупність вершин і ребер, є предикати для примикання вершин і вершин, а також є кількісне визначення по краях, вершинах, наборах ребер і вершинах наборів, і є предикат який виражає, чи розмір є модулем . $\textrm{Card}_{n,p}(S)$ $S$ $n$ $p$

Відома теорема Курсерлла стверджує, що якщо є властивістю графіків, виражених у CMSOL, то для кожного графіка шириною ширини не більше можна визначити за лінійним часом, чи дотримується , за умови, що розклад дерева наводиться в вхід. Пізніші версії теореми відмовилися від вимоги, що декомпозиція дерева задається у вхідних даних (оскільки можна обчислити алгоритм Бодлендера ), а також дозволила оптимізувати замість просто рішення; тобто за формулою MSOL ми можемо також обчислити найбільший чи найменший набір який задовольняє . $\Pi$ $G$ $k$ $\Pi$ $G$ $\phi(S)$ $S$ $\phi(S)$

Моє запитання стосується адаптації теореми Курсорле до графіків обмеженої ширини чіткості. Існує аналогічна теорема, яка говорить про те, що якщо у вас MSOL1, яка дозволяє визначити кількісні показники за вершинами, ребрами, наборами вершин, але не множинами ребер, тоді дається графік $G$ ширини kv $k$ (із заданим виразом клики ), для кожного фіксованого $k$ це можна вирішити в лінійний час, чи відповідає графу $G$ деякій формулі MSOL1 $\phi$ ; всі посилання, на які я бачив, вказують

Проблеми лінійної оптимізації в лінійному часі на графіках обмеженої ширини кліки за допомогою Courcelle, Маковського та Ротики, Теорія обчислювальних систем, 2000.

Я намагався прочитати статтю, але вона не є самодостатньою щодо точного визначення MSOL1, і її відверто важко читати. У мене є два запитання щодо того, що саме можна оптимізувати в FPT, параметризованому за шириною кліпси графіка, якщо на вводі задано вираз кліку.

Чи дозволяє MSOL1 предикат для тестування розміру заданого модуля якесь число? $\textrm{Card}_{n,p}(S)$
Чи можна знайти набір мінімального / максимального розміру який задовольняє формулі MSOL1 у FPT, параметризованому по ширині кліпів, коли задано вираз? $S$ $\phi(S)$

В обох цих питаннях я також хотів би знати, які правильні посилання наводяться, коли вони вимагають цих результатів. Спасибі заздалегідь!

— Барт Янсен
джерело

Я спробував змінити частину вашої статті, вибачте з цього приводу. Тому що мене дуже цікавить ваше запитання, але все-таки після модифікації я не впевнений, чи правильно я розумію ви ідеї. Отже, ви маєте на увазі, що вам потрібно точне визначення MSOL1, а також існування предиката та FPT проблеми оптимізації?

— Hsien-Chih Chang 張顯之

Ідеально, що я хотів би почути, це те, що для кожної фіксованої формули , де - вершина змінної набору вершин, а формула передбачає Card предикати, існує алгоритм, який задавши графік G та вираз-вираз шириною k, обчислює набір мінімального розміру який задовольняє у для деякої довільної функції (або висновки, які жоден набір задовольняє ).

M S O L_{1}

$MSOL_1$

ϕ (S)

$\phi(S)$

S

$S$

ϕ

$\phi$

_{n, p} (S)

$_{n,p}(S)$

S

$S$

ϕ (S)

$\phi(S)$

f (k) | V (G) |^{O (1)}

$f(k) |V(G)|^{O(1)}$

f

$f$

S

$S$

ϕ

$\phi$

— Барт Янсен

Томи книг Бруно Куршалле можуть бути корисні: див. Labri.fr/perso/courcell/ActSci.html у розділі "Структура графіка та монадійна логіка другого порядку, теоретичний підхід до мови".

— Андраш Саламон

Спасибі; це, принаймні, вирішує частину 1) проблеми, оскільки його теорема 6.4 в першій частині книги говорить: Для всіх кінцевих множин K і L вершин і крайових міток виправлена проблема перевірки моделі формули MSOL1 для підрахунку - параметр кубічний відносно параметра ширини ширини (G) + розміру формули.

— Барт Янсен

Відповіді:

Поцікавившись ще деяким, здається, що відповіді на відповіді 1) та 2) є ДА. Оптимізація кардинальності набору можлива в LinEMSOL (як згадував Мартін Лакнер); як мені сказали, існування предикатів кардинальності не є проблемою, оскільки їх можна ефективно обробляти автоматизаторами з кінцевим станом дерева, які повинні слідувати (більш чітко, ніж у папері, що спочатку посилається) з дерев «Проаналізувати» та «Myhill-Nerode- тип інструментів для обробки графіків обмеженої ширини рангів .

— Барт Янсен
джерело

http://www.labri.fr/perso/courcell/Textes1/BC-Makowsky-Rotics(2000).pdf (це папір, яку ви згадали, але краще читаюча версія) визначає LinEMSOL (визначення 10). LinEMSOL допускає проблеми оптимізації MSO1, а теорема 4 заявляє, що такі проблеми є фіксованими параметрами, які можна відстежувати з огляду на ширину кліку. Тож відповідь на вашу другу кулю / питання має бути так.

Щодо першої кулі: У «Вершинних неповнолітніх, монадійній логіці другого порядку та думці Зезеса» Бруно Касерлле та Санг-іл Оум автори пишуть, що «Можна довести, що жодна формула MS φ (X) не може виразити , у кожній структурі множина X має рівну кардинальність [10] "де [10] =" Courcelle, монадична логіка графіків другого порядку "

Сподіваюся, що це допомагає

— Мартін Лакнер
джерело

Дякую за розуміння, але той факт, що жодна формула MS (загалом) не може виразити, чи є в наборі рівна кардинальність, тут насправді не актуальна, оскільки мова йде про підрахунок мови MSOL, яка має спеціальні предикати, які явно дозволяють перевірити кардинальність заданого модуля деякий фіксований номер; отже, в мові підрахунку MSOL можна виразити рівномірність набору, і питання полягав у тому, чи зможемо ми ефективно знайти найменший / найбільший набір, що задовольняє речення в підрахунку MSOL, параметризованого по ширині ширини. Все одно, дякую!

— Барт Янсен

Ви, звичайно, праві. Я просто хотів зазначити, що згаданий вами документ не охоплює CMSOL. (Я не знаю результату, який це робить.)

— Мартін Лакнер