Чому жадібна задума така складна?

Нещодавно я дізнався про жадібну гіпотезу щодо найкоротшої проблеми з суперструнними .

У цій проблемі нам надається набір рядків $s_1,\dots, s_n$ і ми хочемо знайти найкоротший суперструмент $s$ тобто такий, що кожний $s_i$ з'являється як підрядка $s$ .

Ця проблема є важкою для NP і після довгої послідовності робіт найвідоміший алгоритм наближення цієї проблеми має співвідношення $2+\frac{11}{30}$ [Палух ’14].

На практиці біологи використовують такий алгоритм жадібності:

На кожному кроці об'єднайте два рядки, які мають максимальне накладення на всі пари (максимальний суфікс, який є префіксом іншого рядка), і повторіть у цьому новому екземплярі, поки не залишиться лише одна рядок (що є надрядком для всіх вхідних рядків )

Нижня межа $2$ у співвідношенні апроксимації цього жадного алгоритму може бути отримана з вхідних $c(ab)^k,(ba)^k,(ab)^kc$ .

Цікаво, що було припущено, що це найгірший приклад, тобто Greedy досягає $2$ апроксимації для найкоротшої задачі про суперструнну. Я був дуже здивований, побачивши, що такий природний і простий алгоритм так важко проаналізувати.

Чи є інтуїція, факти, спостереження, приклади, які підказують, чому це питання таке складне?

reference-request approximation-algorithms greedy-algorithms

— Матьє Марі
джерело

Однією з причин може бути те, що відомі властивості стандартних графічних уявлень проблеми (наприклад, нерівності Монжа та Потрії), очевидно, недостатньо для доказу жадібної гіпотези. Дивіться, наприклад, Лаубе, Вейнар "Умовні нерівності та найкоротша загальна проблема суперструнних" та Вайнард, Шнітгер "Про жадібну гіпотезу гіпотези".

— Олексій

@AlexGolovnev: Це здається мені ідеально хорошою відповіддю!

— Джошуа Грохов

@JoshuaGrochow: Дякую! Зараз я поширю це на відповідь.

— Олексій

Дозвольте спершу спробувати узагальнити те, що відомо про Жадібну Концепцію.

Блюм, Цзян, Лі, Тромп, Яннакакіс доводять, що жадібний алгоритм дає 4-наближення, а Каплан і Шафрір показують, що він дає 3,5-наближення для найкоротшої загальної задачі суперструнних.
Відомо, що версія жадного алгоритму дає 3-наближення ( Блюм, Цзян, Лі, Тромп, Яннакакіс ).
$3$ $4$
Жадна концепція дотримується, якщо в жадібному алгоритмі трапляється злиття рядків у певному порядку ( Вайнард, Шнітгер ; Лаубе, Вайнард ).
Жадібний алгоритм дає 2-наближення стиснення Тархіо, Укконен (який визначається як загальна довжина вхідних рядків за вирахуванням довжини найкоротшого загального надстроку).
Існує надзвичайно ефективна реалізація жадібного алгоритму Укконен .

Я думаю, що однією з причин, чому важко довести Жадібну Концепцію, може бути наступна. Більшість підходів до підтвердження гарантій апроксимації жадного алгоритму аналізує графік перекриття (або, що еквівалентно, графік префікса) вхідного набору рядків. Ми знаємо лише деякі властивості цих графіків (наприклад, нерівності Монжа та Потрії), але цих властивостей, очевидно, недостатньо для доказування жадібної концепції ( Вайнард, Шнітгер ; Лаубе, Вайнард ).

— Олексій Головнєв
джерело