Чому коефіцієнти диференціального наближення недостатньо вивчені порівняно зі стандартними, незважаючи на заявлені переваги?

Існує стандартна теорія наближення, де відношення апроксимації (для проблем зцілями),- значення, повернене деяким алгоритмомі- оптимальне значення. І ще одна теорія -диференціальне наближення,де коефіцієнт наближення є $\sup\frac{A}{OPT}$ $MIN$ $A$ $A$ $OPT$ ,- найгірше значення можливого рішення для даного екземпляра. ВАвторицієї теорії стверджуютьщо вона має певні перевагипорівняннікласичним. Наприклад: $\inf\frac{\Omega-A}{\Omega-OPT}$ $\Omega$

воно дає таке ж співвідношення наближення для таких задач, як мінімальне покриття вершин і максимальний незалежний набір, які, як відомо, є лише різними реалізаціями однієї проблеми;
воно дає однакове співвідношення для максимумів і мінімум версій тієї ж проблеми. У той же час ми знаємо, що в стандартній теорії MIN TSP і MAX TSP мають дуже різні співвідношення.
Він вимірює відстань не тільки до оптимального, але й до песимуму . Так, у випадку теорії стандартного наближення вершинного покриття йдеться про те, що найкраща верхня межа. Але істотне значення - це максимальне співвідношення між песимумом та оптимальним. Таким чином, такий алгоритм гарантовано виводить рішення з найгіршим значенням. $\Omega$ $2$ $2$

Мій аргумент про: в асимптотичному аналізі ми не беремо до уваги константи і умови низького порядку (тут я нагадав цитату Аві Віджерсона: "Ми успішні, тому що використовуємо правильний рівень абстракції".) рівень абстракції для порівняння використання алгоритму використання ресурсів. Але коли ми вивчаємо наближення, ми чомусь вводимо різницю в тих місцях, де ми можемо цього уникнути.

Моє запитання

чому теорія диференціального наближення так погано вивчена. Або аргументи, пов'язані з цим, недостатньо сильні?

ds.algorithms approximation-algorithms approximation-hardness

— Олександр Бондаренко
джерело

Я ніколи раніше не бачив цього поняття і думаю, що це принаймні цікаво. Дуже цікаво відповідей! (хоча справжня причина може бути такою ж тривіальною, як "До, ніколи про це не думав" або "Докази стають все складніше" або "Не можу порівняти її з іншими результатами, коли я починаю")

— Рафаель,

Відповіді:

Існує дві інтерпретації твердження "алгоритм знаходить -апроксимацію задачі " $A$ $\alpha$ $P$ :

Проблема є легко вирішити досить добре, так як у нас є алгоритм , який знаходить добре наближення. $P$
Алгоритм це добре , так як він знаходить добре наближення. $A$

Я думаю, що класичне визначення коефіцієнта наближення наголошує на першій інтерпретації. Ми класифікуємо проблеми залежно від того, наскільки легко їх вирішити досить добре.

Коефіцієнт диференціального наближення, здається, додає трохи більшої ваги другій інтерпретації: ми не хочемо «винагороджувати» тривіальні алгоритми (наприклад, алгоритми, які просто виводять порожній набір, або набір усіх вузлів).

Звичайно, обидві є дійсними точками огляду, але вони є різними точками огляду.

Ми також можемо вивчити питання з трохи більш практичної точки зору. На жаль, вершинні обкладинки як такі не мають багатьох прямих застосувань, але заради аргументу розглянемо ці два (дещо надумані) програми:

Кришка вершини: вузли - це комп'ютери, а краї - зв’язки зв'язку; ми хочемо контролювати всі комунікаційні зв’язки, і, отже, принаймні одна кінцева точка кожного краю повинна запускати спеціальний процес.
Незалежний набір: вузли - це робітники, а краї моделюють конфлікти між їх діяльністю; ми хочемо знайти безконфліктний набір діяльності, який можна виконувати одночасно.

Тепер обидві проблеми мають тривіальне рішення: множина всіх вузлів - це вершина, а порожня множина - незалежна множина.

Ключова відмінність полягає в тому, що з проблемою покриття вершини тривіальне рішення виконує завдання . Звичайно, ми використовуємо більше ресурсів, ніж потрібно, але принаймні у нас є рішення, яке ми можемо використовувати на практиці. Однак при незалежній задачі тривіальне рішення є абсолютно марним . Ми зовсім не досягаємо прогресу. Ніхто нічого не робить. Завдання ніколи не виконується.

Крім того , ми можемо порівняти майже тривіальні рішення: вершина кришка , яка складається з кінців паросполучення максимального і незалежне безліч , яке є доповненням . Знову ж таки, звичайно виконує роботу в нашій програмі, і цього разу ми не витрачаємо ресурси більше, ніж на фактор два. Однак, можу бути знову порожнім набором, що абсолютно марно. $C$ $I$ $C$ $C$ $I$

Отже, стандартне визначення гарантії наближення безпосередньо говорить нам, чи рішення корисне чи ні. 2-наближення кришки вершини виконує роботу. Незалежний набір без гарантій наближення може бути абсолютно марним.

У певному сенсі коефіцієнт диференціального наближення намагається виміряти "наскільки нетривіальним" рішення, але чи це має значення в будь-якому з цих застосувань? (Це має значення в будь-якій програмі?)

— Юкка Суомела
джерело

Я не розумію вашої точки зору у другій частині. Будь-який надмірний вибір вершин є можливим покриттям вершин, нам не потрібно знати, що алгоритм для цього є 2-наближенням. З іншого боку, навіть 2-наближення для незалежної множини може призвести до неможливого рішення. Отже, виявляється, що небезпека заразимості пов'язана з проблемою, а не з (не) відомими межами наближення.

— Рафаель

@Raphael: 2-наближення максимального незалежного множини за визначенням є незалежним набором (і досить великим; звичайно, не порожнім набором).

— Юкка Суомела

Нічого, читай занадто швидко. Але все-таки я думаю, що ваш пункт має бути сформульований так: Алгоритм без гарантії наближення отримує роботу в разі ВК, але не в ІС. (Ви порівнюєте там яблука та груші, чи не так?) Але тоді, як це дослідження стосується вибору гарантії? Було б би зробити для досягнення можливих рішень.

— Рафаель

@Raphael: Ні, я кажу, що тривіальний VC має гарантію скінченного наближення (щось на зразок

), і він виконує роботу, тоді як тривіальний IS не має гарантії скінченного наближення, і він не отримує виконана робота. Отже, гарантії наближення говорять хоча б щось про те, наскільки корисне рішення.

O (Δ)

$O(\Delta)$

— Jukka Suomela

+1, тому що приклади - це весело. Я не думаю, що існує чітко визначена різниця між "проблема легка" та "є хороший алгоритм", але я це начебто розумію на невиразному рівні.

— Цуйосі Іто

Мені не знайоме поняття диференціального наближення, і я не маю жодної теорії, чому воно недостатньо вивчене. Однак я хотів би зазначити, що не завжди бажано описувати ефективність алгоритму наближення єдиним заходом. У цьому сенсі мені важко погодитися, що деякий захід є краща за іншу.

Наприклад, як ви заявили, мінімальна вершинна кришка допускає алгоритм 2-наближення багаточленного часу, тоді як NP важко наблизити максимальний незалежний набір до будь-якого постійного відношення. Хоча я розумію, що це може бути дивовижним на перший погляд, воно має законне значення: (1) мінімальна кришка вершини може бути добре наближена, коли вона невелика, але (2) вона не може бути наближена добре, коли вона велика. Коли ми констатуємо, що NP-важко наблизити мінімальну кришку вершини (і максимальну незалежну множину) з будь-яким позитивним коефіцієнтом постійного диференціального наближення, ми фактично ігноруємо властивість (1). Напевно, досить добре для деяких цілей ігнорувати властивість (1), але, звичайно, це не завжди так.

Зауважимо, що ми не завжди використовуємо відношення наближення для опису продуктивності алгоритмів наближення. Наприклад, щоб констатувати результат непереборності, заснований на теоремі PCP у повній загальності, нам потрібна формулювання, що ґрунтується на проблемах розриву. Детальну інформацію див. У моїй відповіді на інше питання . У цьому випадку ні використання стандартного коефіцієнта наближення, ні використання коефіцієнта диференціального наближення не дозволяють констатувати результат у повній загальності.

— Цуйосі Іто
джерело

0

$0$

2

$2$

O P T ⩾ n / 2

$OPT\geqslant n/2$

@Oleksandr: "У випадку з вершиною Cover, хоча наближення збігається з найгіршим рішенням, коли OPT⩾n / 2, ми маємо відношення 2." Чи вважаєте ви це недоліком чи ні, це точка зору. Можна стверджувати, що якщо кожне рішення має об'єктивне значення в межах коефіцієнта 2, то не має великого значення, яке рішення виробляє алгоритм. Стандартне коефіцієнт наближення моделює ситуацію, як це.

— Цуйоші Іто

Якщо цей коефіцієнт 2 або будь-який інший малий фактор є найгіршим рішенням, такий результат мало користі.

— Олександр Бондаренко

@Oleksandr: Як я вже говорив, це точка зору.

— Цуйосі Іто

Як зазначає Цуйосі, проблема може полягати в тому, для якого аргументу ви хочете використовувати отриману межу. Далі я спробую виробити дві різні мотивації.

$\alpha = \frac{A}{OPT}$

$\alpha = \frac{\Omega - A}{\Omega - OPT}$ $\alpha\cdot 100\%$

Отже, залежно від того, який тип висловлювання пов'язаний із зворотним зв'язком, слід вибрати відповідну альтернативу.

$[\Omega, OPT]$

— Рафаель
джерело