Яке точне визначення Random K-SAT?

Існують 4 різні обмеження, які ми можемо мати при визначенні випадкових K-SAT.
1) Загальна кількість буквених значень у заданих застереженнях становить рівно K або AT, найбільше K
2) Даний літерал може бути використаний із заміною або без заміни в одному і тому ж пункті (A або A або A)
3) Дана змінна може бути використана з або без заміни в одному і тому ж пункті (A або ~ A або ~ A)
4) Дані пропозиції можуть бути використані з або без заміни у заданій формулі.
Що було б найбільш "правильним" визначенням? Які мінуси та плюси використання цих різних визначень?

Як було зазначено на початку цього обговорення в коментарях, не обов'язково існує єдине "правильне" визначення для випадкового -SAT.$k$

Однак, два найпоширеніші варіанти випадкових -SAT - це моделі фіксованої довжини пропозиції (FCL), тобто, в кожному пункті з'являється точно літералів. Ці варіанти забороняють повторювані змінні та буквені позначення в межах пропозиції, але відрізняються тим, чи дозволяють вони повторювати пропозиції у формулі. Тим не менш, вони по суті ті ж, що будуть розглянуті нижче.$k$ $k$

Дві основні моделі:

Selman випадкова модель - Повторні пункт є дозволені . Кайл дав цю приємну посилання у коментарях до своєї відповіді, але неправильно припускав, що модель забороняє повторювати пропозиції. Зв'язана (дещо інша) версія статті містить більш детальне обговорення випадкової моделі в Розділі 3: "Цей спосіб генерації дозволяє повторювати пропозиції у формулі ... Однак, оскільки N отримує великі дублікати, стане рідкісним, тому що ми зазвичай виберіть лише лінійну кількість пропозицій. "

Випадкова модель Achlioptas - Повторні пропозиції заборонені . Ми розглядаємо генерацію випадкової формули як вибір clause uar з загальних можливих пропозицій без заміни. Див. Розділ 8 Довідника щодо задоволеності [1] (Випадкова SAT від Achlioptas) в якості посилання. Ця модель здається більш поширеною в теоретичній літературі, можливо тому, що стільки її написав сам Ахліоптас.2 к ($m$$2^k {n \choose k}$

Еквівалентність локацій фазового переходу :

Однак фазовий перехід (50% -ний поріг задоволеності) відбувається при однаковому співвідношенні клауза до змінної незалежно від того, яка з цих моделей обрана по суті з тієї причини, що Selman et al. зазначається у їх роботі.

Нехай позначає очікувану кількість однакових пар пропозицій у випадковому екземплярі Selman -SAT. Імовірність того, що пара даних ідентичних ідентичних ідентичних є , тоді як загальна кількість пар пропозицій . За лінійністю очікування .( n , m , k ) p = 1 / ( 2 k ($A(n,m,k)$$(n,m,k)$N= ($p = 1/(2^k {n \choose k})$ A(n,m,k)=p⋅N= ($N = {m \choose 2}$$A(n,m,k) = p \cdot N = {m \choose 2}/{2^k {n \choose k}}$

Згідно теореми 3 в [1], доказна верхня межа місця розташування фазового переходу -SAT за допомогою моделі Ахліоптаса виникає, коли . Закріпивши і встановивши отримаємоm = O ( 2 k n ) k ≥ 3 m = O ( 2 k n $k$$m = O(2^k n)$$k \geq 3$$m = O(2^k n)$

$A(n,m,k) = {m \choose 2}/{2^k {n \choose k}} = O(m^2)/O(n^k) = O(n^2)/O(n^k)$ .

Тоді тому, що , , це означає, що в очікуванні навколо -SAT буде нульове повторення. фазовий перехід при генерації випадкових формул SAT за допомогою моделі Сельмана.$k \geq 3$$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} O(n^2)/O(n^k) = 0$$k$

Безсоромне самореклама - я коротко обговорюю ці теми у розділі 4.1 магістерської роботи .

Випадкова QBF

Як виявляється, ситуація набагато цікавіша для випадкових QBF. Що таке AFAIK, перші три статті про випадкову QBF запропонували нову випадкову модель, критикуючи свого попередника.

Дивіться наступні документи:

• Cadoli та ін. "Експериментальний аналіз обчислювальної вартості оцінки кількісно визначених булевих формул." AI * IA 1997
• Gent + Walsh "Поза NP: фазовий перехід QSAT". AAAI / IAAI 1999
• Chen + Interian "Модель для генерування випадкових кількісних булевих формул". IJCAI 2005

[Відредаговано для наочності]

Найбільш широко використовуване визначення в дослідницькій літературі - це те, що вимагає рівно k чітких змінних в одному пункті, а не дублюючих пропозицій. Якщо ви скасуєте окремі обмеження змінних, велика частина існуючих досліджень не матиме сенсу для вас, оскільки ваші результати не будуть відповідати їх результатам. Загальновідомий фазовий перехід sat / unsat відбуватиметься в іншому співвідношенні «між перемінними» (якщо перехід взагалі існує), і ви не знайдете важких випадків SAT, де ви очікуєте від літератури.