Квадратна структура даних (Делоне / Вороной)

2 питання для обчислювальних геометрів або алгебраїстів:

Я тільки починаю занурюватися в обчислювальну геометрію і люблю це =)

Я намагаюся прочитати відому статтю Гібаса та Столфі під назвою "Примітиви для маніпулювання загальними підрозділами та обчислення діаграм Вороного" , щоб реалізувати алгоритм триангуляції Делоне. Мені спокуса пропустити всі теоретичні речі і просто прочитати опис їх чотиригранної структури даних, щоб заощадити час. Однак я думаю, що варто того, щоб зрозуміти всю математику в статті, якщо структура широко використовується або просто тому, що вона може бути красивою.

Математика для мене трохи густа. Я не зовсім неосвічений щодо топології, але опис їх крайової алгебри вимагає знання абстрактної алгебри, якої у мене немає.

Мої два питання: Які ще програми додаткової структури з чотирьох крайових є, крім обчислень Delaunay / Voronoi? Це здається надзвичайно потужним інструментом.

Друге питання; Що таке абстрактна алгебра? Було б чудово, якби ви могли дати мені посилання на вступ до абстрактної алгебри, достатньо, щоб я міг зрозуміти розділ їх крайової алгебри.

Дякую!

Я думаю, що формалізм "крайньої алгебри" Гібаса та Столфі трохи непотрібний.

Все, що дійсно потрібно, це пам’ятати про відмінність між первинними та подвійними графами. Кожна грань первинного графіка має відповідну подвійну вершину f ∗ ; кожне ребро e первинного графа має відповідне подвійне ребро e ∗ ; і кожна вершина v первинного графіка має відповідну подвійну грань v $f$$f^*$$e$$e^*$$v$$v^*$ . Первинні ребра з'єднують первинні вершини та окремі первісні грані; подвійні ребра з'єднують подвійні вершини та окремі подвійні грані. Подвійне подвійне нічого - це оригінальна річ. Дивіться малюнок 4 на папері Гібаса та Столфі:

$\vec{e}$$\text{tail}(\vec{e})$$\text{head}(\vec{e})$$\text{left}(\vec{e})$$\text{right}(\vec{e})$$\text{tail}(\vec{e})$$\text{left}(\vec{e})$

$\vec{e}$ дартса , Гібас та Столфі пов'язують три пов’язані дартси:

1. $\text{tailNext}(\vec{e})$$\text{tail}(\vec{e})$$\vec{e}$ .
2. $\text{flip}(\vec{e})$$\vec{e}$$\text{left}(\vec{e})$$\text{right}(\vec{e})$
3. $\text{rotate}(\vec{e})$$\vec{e}$ на чверть, повернути проти годинникової стрілки навколо його середньої точки.

Ці три функції задовольняють всілякі чудові ідентичності, такі як:

• $\text{right}(\text{tailNext}(\vec{e})) = \text{left}(\vec{e})$
• $\text{right}(\text{flip}(\vec{e})) = \text{left}(\vec{e})$
• $\text{right}(\text{rotate}(\vec{e})) = \text{head}(\vec{e})^*$
• $\text{flip}(\text{flip}(\vec{e})) = \vec{e}$
• $\text{rotate}(\text{rotate}(\text{rotate}(\text{rotate}(\vec{e})))) = \vec{e}$
• $\text{tailNext}(\text{rotate}(\text{tailNext}(\text{rotate}(\vec{e})))) = \vec{e}$

$e~Flip$ , імовірно, тому, що це ближче до декларативного коду e.Flip). Гібас і Столфі називають будь-яку трійку функцій, що задовольняють всі ці тотожності, крайовою алгеброю .

Більше того, враховуючи ці три функції, можна визначити кілька інших корисних функцій, як-от

• $\text{reverse}(\vec{e}) = \text{rotate}(\text{flip}(\text{rotate}(\vec{e})))$
• $\text{leftNext}(\vec{e}) = \text{rotate}(\text{tailNext}(\text{rotate}(\text{rotate}(\text{rotate}(\vec{e})))))$$\vec{e}$$\text{left}(\vec{e})$

Нарешті, знаючи ці функції, ви розповідаєте абсолютно все про топологію підрозділу, і будь-який багатокутний підрозділ будь-якої поверхні (орієнтується чи ні) може бути закодований за допомогою цих трьох функцій.

Квадратна структура даних є особливо зручним поданням графіку поверхні, що забезпечує доступ до всіх цих функцій, поряд з кількома іншими операціями постійного часу, такими як вставлення, видалення, стискання, розширення та гортання ребер; розщеплення або злиття вершин або граней; і додавання або видалення ручок або перехресних кришок.

Веселіться!