NP-повний варіант факторингу.

У книзі Арори та Барака факторинг представлений як наступна проблема:

$\text{FACTORING} = \{\langle L, U, N \rangle \;|\; (\exists \text{ a prime } p \in \{L, \ldots, U\})[p | N]\}$

Далі в главі 2 вони додають, що усунення факту, що є простим, робить цю проблему NP повною, хоча це не пов'язано із труднощами множення чисел. Здається, може бути зменшення від SUBSETSUM, але я застряг у пошуку. Будь-яка удача тут?$p$

EDIT 1 березня: Бандіт є доказом неповноти за допомогою детермінованого зменшення Карпа (або Кука).$NP$

Це не зовсім відповідь, але це близько. Далі є доказом того, що проблема є важкою для NP при рандомізованих скороченнях.

Існує очевидне відношення до суми підмножини: припустимо, ви знаєте коефіцієнти : p 1 , p 2 , … , p k . Тепер ви хочете , щоб знайти підмножина S з р 1 ... р до таким чином, що$N$$p_1$$p_2$$\ldots$$p_k$$S$$p_1$ $\ldots$ $p_k$

Проблема спроби використати цю ідею, щоб показати проблему, є NP-складною є те, що якщо у вас є проблема підмноженої суми з числами , t 2 , … , t k , ви не обов’язково можете знайти праймери в поліноміальний час, такий що log p i ∝ t i (де під ∝ , я маю на увазі приблизно пропорційний). Це справжня проблема, оскільки, оскільки підмножина суттєво не є повною NP, вам потрібно знайти ці журнали p i для великих цілих чисел t i .$t_1$$t_2$$\ldots$$t_k$$\log p_i \propto t_i$$\propto$$\log p_i$$t_i$

Тепер, припустимо, нам потрібно, щоб усі цілі числа … t k в задачі про підмножину знаходилися між x і x ( 1 + 1 / k ) , і що сума дорівнює приблизно $t_1$ $\ldots$ $t_k$$x$$x(1+1/k)$. Проблема суми підмножини все ще буде NP-повною, і будь-яке рішення буде сумоюk/2цілих чисел. Ми можемо змінити задачу з цілих чисел на цифри, якщо дозволитиt ' я знаходитись міжtiтаti+$\frac{1}{2}\sum_i t_i$$k/2$$t'_i$$t_i$ , і замість того, щоб вимагати, щоб сума була рівноюs, ми вимагаємо, щоб вона була міжsтаs+$t_i+\frac{1}{10k}$$s$$s$ . Нам потрібно лише вказати наші цифри приблизно на4logkбільше біт точності для цього. Таким чином, якщо ми почнемо з чисел зBбітів і зможемо задати реальні числаlogpiприблизноB+4logkбіт точності, ми можемо здійснити наше скорочення.$s + \frac{1}{10}$$4 \log k$$B$$\log p_i$$B + 4 \log k$

Тепер з вікіпедії (через коментар Сянь-Чжи нижче), кількість простих чисел між і Т + Т 5 / 8 є θ ( T 5 / +8 / увійти T ) , так що якщо ви просто вибрати номери випадковим чином в цьому діапазоні, і перевірити їх на первинність, з великою часткою ймовірності отримати розквіт у поліноміальний час.$T$$T+ T^{5/8}$$\theta(T^{5/8}/\log T)$

Тепер спробуємо зменшити. Скажімо, наші всі B біти. Якщо ми візьмемо T I довжини 3 B біти, то можна знайти простий р я поблизу Т я з 9 / 8 B битами точності. Таким чином, ми можемо вибрати Т я так , що лог - Т я а т I з точністю 9 /$t_i$$B$$T_i$$3B$$p_i$$T_i$$9/8B$$T_i$$\log T_i \propto t_i$ біт. Це дозволяє нам знайти р я ≈ T я такщо лог р я а т я з точністю 9 /$9/8\, B$$p_i \approx T_i$$\log p_i \propto t_i$ біт. Якщо підмножина цих простих чисел множиться на щось близьке до цільового значення, існує рішення вихідних задач на суму підмножини. Таким чином, нехай N = Π i p i , вибираємо L і U належним чином, і ми маємо рандомізоване зменшення від сукупності підмножини.$9/8\,B$$N=\Pi_i p_i$$L$$U$

Я думаю, що вона пов'язана з теоремою PCP (зокрема ).$NP = PCP[O(\log{n}), O(1)]$

Уривок з статті Мадху :

... Поняття про те, що перевіряючий може виконати будь-які обчислення поліномів часу, значно збагачує клас теорем і доказів і починає пропонувати дуже нетривіальні методи доведення теорем. (Одним з негайних наслідків є те, що ми можемо вважати, що теореми / докази / твердження / аргументи є бінарними послідовностями, і ми будемо робити це відтепер.) Наприклад, припустимо, що у нас є твердження (скажімо, Гіпотеза Рімана), і ми говоримо, що ми вважаємо, що воно має доказ, який би вміщувався в статті на 10000 сторінок. Обчислювальна перспектива говорить про те, що з урахуванням A і цього зв'язаного (10 000 сторінок) можна ефективно обчислити три натуральних числа N , L , U з L ≤ U ≤ $A$$A$$N, L, U$$L \leq U \leq N$таким чином, що істинно тоді і тільки тоді , коли N має дільник між L і U . Цілі числа N , L і U будуть досить довгими (можливо, їх написання займе мільйон сторінок), але вони можуть бути створені надзвичайно ефективно (за менший проміжок часу, щоб принтер роздрукував усі ці цілі числа, що, безумовно, щонайбільше день чи два). (Цей конкретний приклад ґрунтується на результаті завдяки Джо Кіліану , особистому спілкуванню) ...$A$$N$$L$$U$$N$$L$$U$

... що набагато перевищує мої навички теорії складності :-)

Це неформальна ефективна детермінована ідея зменшення (і може бути неповною):

Fractran є повною мовою програмування Тьюрінга. Відповідним чином визначається обмежено-версія програм Fractran повинна бути приводиться до мови $\{\langle L, U, M \rangle \;|\; (\exists \text{ a positive integer } p \in \{L, \ldots, U\})[p | M]\}$

$M$$M=N_j * F_i$