NP-важкі проблеми на кографах

12

Це питання схоже на важкі проблеми з NP на деревах :

Існує велика кількість проблем, повних NP, які можна відстежити на кографах . Чи є відомі проблеми, які залишаються NP-повною, якщо обмежуватись лише кографами?

Якщо точніше, мене цікавлять приклади, коли вхід складається виключно з непрямої, не зваженої кограми .

Два зауваження:

Для зважених кографів тут згадується така проблема - TSP з двома мандрівниками
Кографи - це "базовий клас" ширини кліки, такі як дерева - базовий клас для ширини дерева.

ОНОВЛЕННЯ

Деякі подальші думки (я не зовсім впевнений у цьому): Якщо вхід є справді просто кографією, питання повинно бути на зразок "Чи має у кографії властивість X?". Було б достатньо, якби така проблема існувала для дерев, оскільки тоді питання могло б бути "Чи має катрей кографа властивість X?".

cc.complexity-theory np-hardness graph-algorithms

— Мартін Лакнер
джерело

Отже, заважаючи бути (не таким) дублюючим питанням, можливо, ми також вимагаємо, щоб ці проблеми, повні NP, були вирішені в поліномах на деревах?

— Hsien-Chih Chang 7 之

Було б добре, звичайно. Однак я б заперечував, навіть якби це не було. Тим більше, що всі приклади, наведені в початковій темі, не відповідають на моє запитання (наскільки я розумію).

— Мартін Лакнер

11

Можливо, моя улюблена відкрита проблема викликає інтерес: проблема кращої кліки на обкладинці. У проблемі крайової обкладинки кліків потрібно покрити краї кографа мінімальною кількістю кліків. Невідомо, чи ця проблема неповна.

Щоб проілюструвати, що проблема, ймовірно, складна, нехай є повним багаточастинним графіком з множинами наборів кожного розміру . Це кограф. Існують парні ортогональні латинські квадрати порядку і тоді, і лише тоді, коли крайова клікова кришка дорівнює . Це показали Парк, Кім та Сано . Це формула для "графіка коктейльної вечірки", тобто випадку, коли . $K_n^m$ $m$ $n$ $m - 2$ $n$ $K_n^m$ $n^2$ $n = 2$

— Тон Клокс
джерело

10

Кілька проблем залишаються NP-завершеними, якщо їх обмежують лише кограми. Забарвлення списку, ахроматичне число та ізоморфізм індукованого підграфа залишаються NP-завершеними.

[1] Ганс Л. Бодлендер. Ахроматичне число є NP-повним для кограф та інтервальних графіків. Інф. Процес. Лет., 31 (3): 135–138, 1989

[2] Клаус Янсен та Петра Шеффлер. Узагальнене забарвлення для деревоподібних графіків. Дискретний додаток Математика, 75 (2): 135–155, 1997

[3] Петро Дамашке. Ізоморфізм індукованого підграфа для кографів не є повним NP. Конспекти лекцій з інформатики, 1991, том 484/1991, 72-78,

— Мохаммед Аль-Туркстані
джерело

1

Дякую за вашу відповідь. Це справді цікаві проблеми, але я думаю, що вони не відповідають вимозі, що вхід - це лише графік. Вхід у [1] - це графік і ціле число, [2] - графік і набір кольорів для кожної вершини, [ 3] два графіки.

— Мартін Лакнер

3

Ось тривіальні варіанти двох тих самих задач, які залишаються NP-повними, але мають лише кографію як вхідні дані: чи складається даний кограф з двох сполучених компонентів, один з яких є індукованим підграфом іншого? Чи має даний кограф повна забарвлення, яка надає кожній із відокремлених вершин чітке забарвлення?

— Девід Еппштейн

10

Ось проблема NP для двох заданих кограф, а не одна, яка дуже закрита для заданого питання. Нещодавно опублікований документ показує, що прийняття рішення для даних кограф і , якщо є відведенням , є NP-повним. ( - відведення якщо існують карти, що зберігають краю і такі що - тотожність.) $G$ $H$ $H$ $G$ $H$ $G$ $\rho: V(G)\to V(H)$ $\gamma: V(H)\to V(G)$ $\rho\circ \gamma : V(H)\to V(H)$

— vb le
джерело

2

Знову ж таки, це можна переосмислити як проблему на одній кограті (у неї буває два з'єднані компоненти).

— Девід Еппштейн

1

Я бачу. Звичайно, можна попросити проблем, повних NP, коли вхід складається виключно з підключеного , непрямого, невагомого кографа. Думаю, питання досить цікаве.

— vb le

1

Але з'єднані кографи - лише доповнення відімкнутих кограф, тому необхідність з'єднання дуже мало впливає на формулювання цих проблем. Наприклад, ось версія для підключених кографів: для - зв'язаний кограф, доповнення якого має дві складові, нехай та - підграграфи, індуковані у вершинами цих компонентів, упорядковані так, що. Чи це відкликання ?

G

$G$

G_{1}

$G_1$

G_{2}

$G_2$

G

$G$

| V (G_{1}) | \leq | V (G_{2}) |

$|V(G_1)|\le|V(G_2)|$

G_{1}

$G_1$

G_{2}

$G_2$

— Девід Еппштейн

Ах, це добре!

— vb le