Що таке квантова обчислювальна модель?

Я періодично чув, як люди розмовляють про квантові алгоритми та про стани та здатність розглядати декілька можливостей одночасно, але мені ніколи не вдавалося змусити когось пояснити обчислювальну модель за цим. Щоб було зрозуміло, я не запитую про те, як фізично побудовані квантові комп'ютери, а про те, як розглянути їх з обчислювальної точки зору.

Я повторюю рекомендацію Мартіна Шварца щодо Nielsen & Chaung як стандартного посилання; є також багато інших.

Дослідження в цій галузі вважають за краще розглядати однорідні сімейства квантових схем, які (за іронією долі) спрямовані ациклічними мережами, що описують, як стан одного або декількох регістрів перетворюється з часом, таким чином, як класичні булеві схеми. Якщо ви хочете дізнатися більше, рекомендую вивчити цю модель.

Я хотів би дати кілька якісних відповідей, щоб доповнити відповідь Мартіна.

1. Квантове обчислення насправді не розглядає "декілька можливостей відразу" --- або точніше, чи вважаєте ви їх розглядати декілька можливостей одночасно - питання вашого вибору інтерпретації квантової механіки , тобто філософського вибору, у якого немає залежність від можливостей чи прогнозів обчислювальної моделі. ("Розгляд декількох можливостей одразу" відповідає "інтерпретації багатьох світів" QM.
   
   Принаймні, можна сказати, що квантовий комп'ютер розглядає одночасно декілька можливостей лише в тій мірі, в якій рандомізоване обчислення з використанням монети- flips враховує кілька можливостей одночасно. Це відбувається тому:

2. Квантові стани - це узагальнення "звичайних" розподілів ймовірностей --- з деякими простими, але важливими відмінностями. Розподіл ймовірностей можна представити як негативний реальний вектор, записи якого дорівнюють 1: тобто одиничний вектор у нормі ℓ ¹ . Імовірнісні обчислення повинні відображати ℓ ¹ -єдні вектори з іншими такими векторами, і тому вони описуються стохастичними картами. Можна описати квантові обчислення аналогічним чином, за винятком використання « ² -одиничних векторів над ℂ (не обмежуючись реальними чи негативними); перетворення здійснюються тими картами, які зберігають ℓ ² -норму, тобто унітарні операції.
   
   Ця різниця, звичайно, не є тривіальною, але вона ще не пояснює, що означають коефіцієнти квантових векторів стану . Але це може допомогти пояснити, що відбувається з просторами Гільберта та тензорними продуктами при квантових обчисленнях: до речі, точно такі ж речі, як і в імовірнісних обчисленнях. Простір конфігурації випадкового біта є вектором у ℝ ₊ ² (де ℝ ₊ - негативні значення); але оскільки випадкові біти можуть бути співвіднесені, ми об'єднуємо конфігураційні простори одного або декількох випадкових бітів, беручи добуток тензора. Отже, простір конфігурації двох випадкових біт дорівнює ℝ ₊ ²  ⊗ ℝ ₊ ²  ≅ ℝ ₊ ⁴ або повністю загальний простір розподілу ймовірностей над чотирма окремими двобітовими рядками. Операція A на першому з цих випадкових бітів, що не діє на другий, представлена ​​оператором A  ⊗  I ₂  . І так далі. Такі ж конструкції застосовуються і до квантових бітів; і ми можемо розглядати квантові регістри над множинами відмінних елементів так само, як ми вважаємо розподіли ймовірностей над такими множинами, знову ж таки, використовуючи ℓ ² -норічні вектори над ℂ.
   
   Цей опис насправді описує "чисті" квантові стани --- ті, для яких ви можете в принципі перетворити інформаційнозберігаючим способом дельта-розподіл по бітовому рядку 00 ... 0 (а точніше, в a стан довільно близький до цього у нормі ℓ ² ). Крім квантової випадковості (про яку я ще не зазначив нічого явного), можна розглянути ванільно-опуклість-випадковість, що відповідає імовірнісним сумішам квантових станів: вони представлені операторами щільності , які можуть бути представлені позитивними певними матрицями із слідом 1 (знову узагальнюючі "класичні" розподіли ймовірностей, які можуть бути представлені окремим випадком позитивних діагональних матриць із слідом 1).
   
   У цьому важливо те, що, хоча квантові стани часто описуються як "експоненціально великі", це пояснюється тим, що вони, як правило, описуються з використанням тих же математичних структур, що й розподіл ймовірностей; чому розподіли ймовірностей не описуються як "експоненціально великі" так само незрозуміло (але в кінцевому рахунку неважливо). Складність моделювання квантових станів випливає з цього факту, разом з тим, що складні коефіцієнти цих ℓ ² -розподілів (або складні позадіагональні умови операторів щільності, якщо ви віддаєте перевагу) можуть скасуватись таким чином, що ймовірності не зможуть , ускладнюючи їх оцінку.

3. Заплутування - лише інша форма кореляції. Для імовірнісних обчислень, наприклад, булевих струн, єдиними "чистими" станами (які можна відобразити за допомогою збереження інформації перетворень на дельта-пікове розподіл на 000 ... 0) є "стандартною основою" дельта-пікових розподілів на різні булеві струни. Таким чином, ця основа ℝ ₊ ^{2 n}розрізняють. Але немає такої відмінної основи в квантовій механіці, наскільки ми можемо сказати --- це найясніше для квантових бітів (шукайте спінових 1/2 частинок, якщо ви хочете знати, чому). Як наслідок, перетворень, що зберігають інформацію, є більше, ніж просто перестановки: насправді суцільна їх група. Це дозволяє потенційним квантовим комп'ютерам трансформувати стани способами, які неможливі для імовірнісних комп'ютерів, можливо, отримуючи асимптотичну перевагу над ними.
   
   А як же заплутаність, яку багато людей вважають загадковою, і стверджує, що є причиною прискорення квантових комп'ютерів над класичними? "Заплутаність" тут насправді є лише формою кореляції: так само, як дві випадкові величини співвідносяться, якщо їх розподіл є опуклою комбінацією більш ніж одного продукту розподілу (з різними маргіналами на кожній змінній), дві "квантові змінні" заплутуються, якщо їх розподіл - це лінійна комбінація (з одиницею ℓ ²-норм) двох дійсних розподілів товару; це те саме поняття за іншою нормою і відіграє аналогічну роль у комунікаційних завданнях. (Наприклад: "квантова телепортація" в квантовій комунікації відповідає кодуванню та декодуванню повідомлення, використовуючи класичний одноразовий майданчик.) Це форма кореляції, яка є більш загальною, ніж просто класично корельовані біти; але єдиний спосіб показати це - кореляції, закодовані в заплутаному стані, застосовуються до більш ніж однієї привілейованої основи . Якщо говорити манера, то заплутування є наслідком відсутності пільгової основи.
   
   Люди люблять посилатися на заплутаність як на ключовий елемент квантового обчислення, але це, здається, просто не тримає води: були результати, що показують, щопереплутування не є кількісно важливим для алгоритму Шора для розподілу великих цілих чисел, і тому, що квантова система може мати занадто багато заплутування, щоб бути корисною для обчислення. Насправді скрізь, коли мені відомо, що заплутаність відіграє важливу роль у квантовому протоколі, це, по суті, одна з комунікацій (де очікується, що кореляції відіграватимуть важливу роль для класичного протоколу).

У цей момент я починаю вникати в область особистої думки, тому зупиняюся тут. Але, сподіваємось, ці зауваження можуть демістифікувати дещо із того, що є незрозумілим щодо квантових обчислень та як воно описується.

Ленс Фортноу написав статтю, в якій пояснює квантові обчислення без використання квантової механіки. Він представляє це по суті так само, як можна було б представити ймовірнісні обчислення. Я підозрюю, що це може бути швидшою відправною точкою, ніж щось на зразок Нільсона та Чуанга (хоча я згоден, що якщо ви хочете реально зайнятися цим, то Нільсон і Чунг неодмінно повинні бути у вашому списку читання).

Л. Фортнова. Погляд теоретика про складність квантових обчислень. Теоретичні інформатики, 292 (3): 597-610, 2003. Спеціальний випуск робіт, представлених на другому семінарі з алгоритмів квантової обробки інформації.

Ну, стандартним текстом є квантові обчислення та квантова інформація Нільсена та Чуанга. Він охоплює цілий спектр різних аспектів на розумному рівні. Майже кожен, хто працює на місцях, має копію цього на своїй полиці. Книга Kaye, Laflamme та Mosca також хороша, але менше охоплює (хоча трохи більше уваги на алгоритмах).

Хоча цілком можливо пояснити квантові обчислення, не заглиблюючись у велику квантову механіку, я не думаю, що це обов'язково хороший спосіб підходити до вивчення квантових обчислень. Існує досить багато інтуїції, яку можна отримати, відчуваючи фізичну теорію, оскільки багато останніх моделей квантових обчислень (тобто адіабатичні, топологічні та вимірювальні моделі) більш фізично мотивовані, ніж квантова машина Тьюрінга або модель схеми.

При цьому, квантова механіка, необхідна для розуміння квантових обчислень, досить проста, і вона досить добре висвітлена в Нільсені та Чуанг. Дійсно, ви можете добре відчути це, читаючи відповідну главу та пробуючи вправи. Це та річ, яку ви можете зрозуміти за пару днів роботи. Моя порада, однак, не переходить до стандартного вступного тексту до квантової механіки. Підхід до моделювання атомів, молекул та матеріалів використовує нескінченні розмірні системи та потребує набагато більше зусиль, щоб досягти вершини. Для квантової інформації набагато краще почати розглядати системи кінцевих розмірів. Крім того, традиційно проблеми, які вивчаються фізиками, мають тенденцію обертатися навколо пошуку наземних станів та поведінки в стаціонарному стані, і ось що охоплює більшість вступних текстів (починаючи з незалежного від часу хвильового рівняння Шредінгера). Щодо квантових обчислень, ми, як правило, більше зацікавлені в еволюції систем в часі, і це стосується набагато більш лаконічних текстів квантових обчислень, ніж загальних вступних текстів квантової механіки (які за визначенням більш загальні).

Квантова обчислювальна модель формалізована, відповідно, моделлю квантової машини Тюрінга (QTM) та моделлю квантових схем, яка переважно використовується в наш час. Третя, менш часто використовувана модель, заснована на інтегралах кінцевих розмірів, тобто, наприклад, використовується для показу відношення (квантового поліноміального часу ^{обмеженої} помилки) до класичних класів складності, тобто BQP ⊆ P ^#P = P ^GapP . Крім того, найбільш загальна модель, що включає шум, заснована на квантових операціях або операторах Крауса. Всі ці моделі, як відомо, обчислювально рівнозначні.$BQP$

Дозвольте зараз коротко ознайомитись з квантовою схемою без фізики: Кубіти - це основна одиниця квантової інформації, що обробляється. Кубіт - це просто деякий одиничний вектор у двовимірному просторі Гільберта . Більші регістри формуються тензорними добутками основного двовимірного простору Гільберта. Розмір складеного простору є добутком розмірності складових просторів і, таким чином, масштабується експоненціально з кількістю кубітів у квантовому регістрі. Квантовий стан в регістрі знову є одиничним векторомН 2 Н 2 ⊗ . . . ⊗ H 2 | i | ⟩ U сек д у р $|\phi\rangle$$\cal{H_2}$$\cal{H_2} \otimes ... \otimes \cal{H_2}$$|\psi\rangle$у складеному просторі. Компоненти цього вектора є складними значеннями, які називаються амплітудами ймовірності і можуть бути позначені класичними бітовими рядками. Еволюція стану здійснюється шляхом застосування унітарного оператора (також відомого як квантовий затвор) до деякої підмножини постійної ширини кубітів. В кінці обчислення вимірюються кубіти, що ведуть до класичного бітового рядка як результату з розподілом ймовірностей, яке пов'язане з амплітуди ймовірності, пов'язаним з цим бітовим рядком.$U$$square$

Для більш поглибленого вступу, будь ласка, дивіться стандартний підручник Нільсен та Чуанг.

Спочатку вам потрібно буде розібратися в квантовій фізиці.

Кілька рекомендацій:

1. " Квантові обчислення для вчених-комп'ютерів " Носона С. Янофського та Мірко А. Маннуччі
2. "Вступ до квантових обчислень" Філіппа Кей, Реймонда Лафламма та Мікеле Моска

А про більш цікаву сторону речей - "Ярлик через час: Шлях до квантового комп'ютера" Джорджа Джонсона.

Ви можете мати приємне вступ у статті "Вступ до квантових обчислень для нефізиків" Елеонори Ріффель та Вольфганга Полака. Це, можливо, трохи старе, однак це все-таки хороше, коротке, автономне вступ до теми: http://arxiv.org/abs/quant-ph/9809016

Інша стаття, значно більш узагальнена - це "Квантове обчислення, пояснене моїй матері" Пабло Аррігі на веб-сайті http://arxiv.org/abs/quant-ph/0305045

Ви, напевно, вже знаєте про це, але у своєму блозі Скотт Аронсон має посилання на ряд своїх лекцій з курсу квантових обчислень, а також посилання на праймери QC інших (просто прокрутіть праву бічну панель, щоб знайти їх). .

Якщо ви хочете ознайомити з книжкою, але щось більш ніжне, ніж такий текст, як Нільсен та Чуанг, я рекомендував би квантові обчислення для вчених-комп’ютерів Янофського та Мануччі. Вони витрачають досить багато часу на перегляд математичних передумов, перш ніж зануритися в саму КК. Якщо у вас сильний математичний фон, ця книга може здатися занадто базовою, але я вважаю це досить корисним.

Взагалі я би скористався порадою Джо. Але для швидкого вступу я б поставив тексти Ленса Фортноу та Стівена Феннера до списку читання комп'ютерних вчених, які йдуть квантом.

Якщо ви досить просунуті, можете почати з опитування квантових методів де Вольфа-Друкера для класичних проблем. Це хороший спосіб зрозуміти квантові методи, перш ніж перейти до квантових задач .

Я не думаю, що вам потрібно вивчати квантову механіку. Однак залежить, в якій галузі ви хотіли б працювати. Є області в цій галузі, які дійсно потребують знань з квантової механіки, однак, наприклад, область, над якою я працюю, теорія типів і обчислення лямбда, мені це не потрібно, я можу це зробити, просто знаючи деякі обчислювальні моделі для цього.

Окрім свого стандартного тексту з Чуанг, Майкл Нільсен має серію відео-лекцій на Youtube під назвою Квантове обчислення для визначених, яка поки що дає огляд обчислювальної моделі. Відео дуже спостережливе для тих, хто має трохи розуміння інформатики та лінійної алгебри.