Складність перетворення булевої схеми в булеву формулу

Враховуючи булеву ланцюг на змінних (яка використовує лише ворота NOT, AND і OR), який найефективніший спосіб отримати булеву формулу, представлену схемою? Чи існує алгоритм багаточастоти для цієї проблеми? $C$ $n$

cc.complexity-theory time-complexity boolean-functions

— Ніхіл
джерело

Який тип воріт має схема?

— Лев Рейзін

Які обмеження щодо вентилятора чи вентиляції? Якщо це лише один вентилятор, то це банально: сама схема по суті є AST для формули.

— Марк Рейтблатт

Обмежений вентилятор, щоб бути загальним. Але якщо бути точним, скажімо, що І і АБО мають вентилятор 2. У багатьох посиланнях в літературі я вважаю, що схема і формули використовуються взаємозамінно, але я хочу знати, чи легко перетворити схему у формулу проблема.

— Нікхіл

Взагалі можна було б очікувати, що будь-яка еквівалентна формула може мати експоненціальний розмір навіть для малого кола.

— Крістофер Арнсфельт Хансен

Формули розмірів поліномів еквівалентні ланцюгам . Полісимізовані схеми ( ), як відомо, не еквівалентні . Формули та схеми використовуються взаємозамінно, як правило, при обмеженні глибини ланцюга.

N C^{1}

$NC^1$

P / p o l y

$P/poly$

N C^{1}

$NC^1$

— Каве

Якщо я правильно розумію ваше запитання, я б сказав, що ви можете використати стандартне скорочення від CIRCUIT-SAT до SAT: представляйте кожен затвор як нову змінну, а потім представляйте всю схему у формі CNF, при цьому кожен пункт має форму , де - нова змінна, а формула для заходу задається , використовуючи змінні для інших воріт для представлення входів. Це можна зробити за допомогою простого обходу (за лінійним часом, що явно оптимально). $(v\leftrightarrow\phi)$ $v$ $\phi$

Наприклад, якщо у вас є три входи, , і , з воротами AND, що пов'язують і , а також і , і затвором, що пов'язує їхні виходи, ви можете ввести три змінні для представлення воріт - , і відповідно - і перепишіть формулу вЗауважте, що вихідна змінна включена явно. $x_1$ $x_2$ $x_3$ $x_1$ $x_2$ $x_2$ $x_3$ $v_1$ $v_2$ $v_3$

(v_{1} \leftrightarrow (x_{1} \land x_{2})) \land (v_{2} \leftrightarrow (x_{2} \land x_{3})) \land (v_{3} \leftrightarrow (v_{1} \lor v_{2})) \land v_{3} .

$(v_1\leftrightarrow(x_1\land x_2))\land (v_2\leftrightarrow(x_2\land x_3))\land (v_3\leftrightarrow(v_1\lor v_2))\land v_3\,.$

Вступ до алгоритмів Cormen et al. детально пояснює це в главі про NP-повноту.

— Magnus Lie Hetland
джерело

Чи CIRCUIT-SAT не використовує вентилятори 1 воріт?

— Марк Рейтблатт

Звичайно, але, наскільки я бачу, це не впливає на зменшення / перетворення. Ідея представлення кожного виводу як нової змінної означає, що ви можете повторно використовувати кожен вихід як вхід кілька разів (що відповідає довільно великому вентилятору). Іншими словами, рішення, дане у цій відповіді, повинно працювати для довільних схем.

— Magnus Lie Hetland

Я думаю, що це не те, про що просять. Я думаю, що хочеться зробити формулу на тому ж наборі змінних, що і схема.

— Крістофер Арнсфельт Хансен

Гм. Так, ти, мабуть, маєш рацію. Введення нових змінних має сенс у випадку CIRCUIT-SAT до CNF-SAT, але не в більш загальній обстановці - я згоден.

— Magnus Lie Hetland

@Kristoffer: Я мав на увазі саме те, що ти сказав. Враховуючи схему на я хочу, щоб формула була точним булевим виразом для схеми.

C

$C$

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

$x_1, x_2, \ldots, x_n$

ϕ (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})

$\phi(x_1, x_2, \ldots, x_n)$

— Нікхіл