Підрахунок кількості вершин кришок: коли це важко?

14

Розглянемо повну задачу # P підрахунку кількості кришок вершин даного графіка . $G = (V, E)$

Мені хотілося б знати, чи є якийсь результат, який показує, як твердість такої проблеми змінюється в залежності від деякого параметра (наприклад, $G$ ). $d = \frac{|E|}{|V|}$

Моє відчуття полягає в тому, що проблема повинна бути легшою і тоді, коли є рідким, і коли щільним, тоді як має бути важким, коли "посередині". Це справді так? $G$ $G$ $G$

— Джорджіо Камерані
джерело

Ви хочете порахувати всі вершинні обкладинки або всі мінімальні обкладинки вершин? Зверніть увагу, що перша проблема може бути простішою в деяких випадках, оскільки це не обов'язково допомагає вам вирішити повну проблему.

— Райан Вільямс

Привіт, Райан, так, я хочу порахувати всі вершинні обкладинки. Чому ви кажете "це не обов'язково допомагає вам вирішити повну проблему" ? Якщо він є # P-завершеним, чому він не допомагає мені вирішувати проблеми, повні з NP?

— Джорджіо Камерані

@ Вальтер, підрахунок змінних призначень, які задовольняють заданій формулі 2SAT, є # P-завершеним, але 2SAT є в П.

— Мохаммед Аль-Туркстані

@turkistany: Так, я вже знаю, що ...

— Джорджіо Камерані

@turkistany: ... але тоді? Якою б NP-повною проблемою у мене не була, я можу перетворити її в SAT, потім SAT в #SAT, потім #SAT в # Monotone-2SAT (що точно так само, як підрахунок обкладинок вершин). То чому я не маю змоги вирішувати задачі, заповнені NP, враховуючи можливість підрахунку кришок вершин?

— Джорджіо Камерані

15

Проблема #VC обчислення кількості кришок вершин даного графіка залишається # P-жорсткою для 3-регулярних графіків; див., наприклад, [Greenhill, 2000].

Для того, щоб показати , що проблема залишається #VC # P-важко для графів з не більше ніж $c\cdot n$ ребер, де $n$ є число вершин і $0<c<3/2$ , зменшити від 3-регулярному випадку шляхом додавання досить великий незалежний набір (лінійного розміру). Кількість кришок вершин залишається однаковою, якщо додати незалежний набір.

Крім того , щоб показати , що проблема залишається #VC # Р-важко для графів з по щонайменше $c\cdot n^2$ ребер, де $n$ є число вершин і $0<c<1/2$ , скоротити з #VC шляхом додавання великої досить кличний компонент (лінійного розміру). Кількість кришок вершин множиться на $p+1$ якщо до графіку додати кліку розміром $p$ .

Кетрін С. Грінхілл: Складність підрахунку забарвлень та незалежних наборів у розріджених графіках та гіперграфах . Комплексна обчислювальна складність 9 (1): 52-72 (2000)

— Серж Гасперс
джерело

Отже, виведення полягає в тому, що #VC для кубічних графіків є # P-повним, тому що #IS є # P-повним?

— видалити000

9

Після відповіді Ярослава, Любі та Вігода першими показали FPRAS для #IS за умови щільності (максимальна ступінь 4, яка, напевно, слабша за результат Вайца), тоді як Дайер, Фриз та Джеррум показали, що немає FPRAS для #IS, якщо максимальний ступінь графіка становить 25, якщо RP = NP.

Список літератури:

Мартін Дайер, Алан Фриз і Марк Джеррум. Про підрахунок незалежних множин у розріджених графіках. FOCS 1999.

Майкл Лубі та Ерік Вігода. Приблизно налічує до чотирьох. STOC 1997.

Дивіться також конспекти лекцій Джерума про ETH "Підрахунок, вибірка та інтеграція: алгоритми та складність".

— RJK
джерело

4

До речі, Алан Слай довів поліноміальний час inapproximability для максимальному ступені = 6 - arxiv.org/abs/1005.5584

— Ярослав Булатов

1

@Yaroslav: Дякую за довідку. Це виглядає як добре читання!

— RJK

9

Що стосується експоненціальної часової складності, загальні випадки та випадки з постійним максимальним ступенем однаково важкі: лемма розщеплення Impagliazzo, Paturi, Zane (2002) показує, що мінливі екземпляри -Sat можуть бути зведені до випадків -Sat з максимум застереженнями в $n$ $d$ $d$ $f(d,\epsilon)\cdot n$ $\exp(\epsilon n)$ . Як спостерігається у спільній роботі з Хусфельдом та Валеном, лемма про розщеплення працює і для лічильних версій -Sat, і особливо для випадку підрахунку $d$ $2$ -Sat (що еквівалентно підрахунку незалежних множин та підрахунку кришок вершин).

Більше того, підрахунок незалежних множин у -поверховому графіку не може бути здійснено за часом якщо експоненціальна часова гіпотеза не виконана . Це ще не опубліковане спостереження, оголошене в ході розмови під час обчислювального підрахунку семінару в Дагстулі . $n$ $\exp(o(n))$

— Холгер
джерело

щодо остаточного коментаря: ETH означає, що SAT не може бути вирішена в субекспоненціальний час, що за допомогою стандартних скорочень означає, що ІНДЕЗЕНДЕНТ-НАСТРОЙКА не може бути вирішена і в субекспонеційний час. Тоді негайно, що ETH передбачає підрахунок незалежних множин, також не може бути здійснено у субекспоненціальний час.

— Андрас Саламон

1

\exp (o (n / \log^{3} n))

$\exp(o(n/\log^3 n))$

8

Множина - це вершина, якщо її доповнення є незалежним набором, тому ця проблема еквівалентна підрахунку незалежних множин.

Алгебраїчний підрахунок незалежних множин FPT для графіків обмеженої обмеженої ширини кліки. Наприклад, див. "Багатовимірний міжчленовий поліном Courcelle" та його обчислення для графіків обмеженої ширини кліки ", де вони обчислюють узагальнення полінома незалежності. Додавання коефіцієнтів незалежності полінома дає кількість незалежних множин.

Графіки з максимальним ступенем 3 можуть мати необмежену ширину кліку.

$d$ $\lambda$

λ < \frac{(Δ - 1)^{Δ - 1}}{(Δ - 2)^{Δ}}

$\lambda<\frac{(\Delta-1)^{\Delta-1}}{(\Delta-2)^\Delta}$

_{(джерело: yaroslavvb.com )}

$\lambda=1$

$d$ $\lambda$ $d$

— Ярослав Булатов
джерело

Проблема роботи з IS замість VC полягає в тому, що графіки доповнення можуть втратити деякі приємні властивості, яких хочеться: наприклад, "обмежений ступінь, що може перевищувати k", стає "зі ступенем принаймні nk", який зараз залежить від розміру примірника. Це може бути або не бути актуальним.

— Андраш Саламон

@ András Комплекс вершин ускладнюється, а не набір ребер.

— Тайсон Вільямс