Сімейства графіків, які мають поліноміальні алгоритми часу для обчислення хроматичного числа

Публікація оновлена ​​31 серпня : я додав підсумок поточних відповідей під початковим запитанням. Дякую за всі цікаві відповіді! Звичайно, кожен може продовжувати публікувати будь-які нові висновки.

Для яких сімей графіків існує поліноміальний алгоритм часу для обчислення хроматичного числа ?$\chi(G)$

Задача вирішується в поліномічний час, коли (двопартійні графіки). Загалом, коли , обчислення хроматичного числа є важким NP, але існує багато сімей графів, де це не так. Наприклад, цикли фарбування та досконалі графіки можна виконати в поліноміальний час.$\chi(G) = 2$$\chi(G) \ge 3$

Також для багатьох класів графіків ми можемо просто оцінити відповідний хроматичний многочлен; кілька прикладів у Mathworld .

Я вважаю, що більшість із зазначеного вище є загальновідомими. Я б із задоволенням дізнався, чи існують інші (нетривіальні) сімейства графіків, для яких мінімальне забарвлення графа вирішується в поліноміальний час.

Зокрема, мене цікавлять точні та детерміновані алгоритми, але не соромтесь зазначити будь-які цікаві рандомізовані алгоритми чи алгоритми наближення.

Оновлення (31 серпня):

Дякуємо всім за подання цікавих відповідей. Ось короткий підсумок відповідей та посилань.

Ідеальні та майже ідеальні графіки

• Геометричні алгоритми та комбінаторна оптимізація (1988), глава 9 (Стабільні множини у графах). Мартін Гротшель, Ласло Ловаш, Олександр Шрівер.

  У розділі 9 книги показано, як вирішити проблему забарвлення за допомогою проблеми, що охоплює мінімальний зважений клік. Оскільки вони покладаються на еліпсоїдний метод, ці алгоритми можуть бути не дуже корисними на практиці. Крім того, у цій главі є хороший довідковий список для різних класів досконалих графіків.

• Комбінаторна оптимізація (2003), том Б, розділ VI Олександр Шрівер.

  У цій книзі є три глави, присвячені ідеальним графам та їх кольоровості в поліном. Я лише швидко поглянув, але базовий підхід здається таким же, як у попередній книзі.

• Характеристика b-досконалих графіків (2010). Чінх Т. Хоан, Фредерік Мафрей, Мерієм Мечеббек

Графіки з обмеженою шириною дерева або шириною кліку

• Крайовий набір та забарвлення на графіках із фіксованою шириною кліки (2001). Даніель Коблер, Уді Ротікс

  Тут алгоритми вимагають k-вираз (алгебраїчна формула побудови графіка із обмеженою шириною кліки) як параметр. Для деяких графіків це вираження можна обчислити за лінійним часом.

• Ярослав вказав на методи підрахунку забарвлень у обмежених графах ширини дерева. Дивіться його відповідь нижче.

Ці дві сімейства графіків дослідження, де вершин або ребер можна додавати або видаляти.$k$

• Параметризована складність вершинного забарвлення (2003). Лейжен Кай.

  Забарвлення може бути вирішена в поліноміальний час при додаванні або видаленні ребер (для фіксованого k ) у розділених графіках .$k$$k$

• Параметризовані задачі на забарвлення на хордальних графах (2006). Даніель Маркс.

  Для фіксованого , хордальні графіки, до яких додаються k ребер, можуть бути кольоровими в поліноміальний час.$k$$k$

Графіки, що не містять конкретних підграфів

• Вирішення k-кольоровості графіків, що не містять P5, у поліноміальний час (2010). Чин Т. Хоан, Марцін Камінський, Вадим Лозін, Джо Савада, Сяо Шу.

• 3-кольорові графіки, що не містять AT, у поліноміальний час (2010). Юрай Стачо.

Розмальовки квадри

• Алгоритми фарбування квадратів (1999). Девід Еппштейн, Маршалл В. Берн, Бред Хатчінгс.

Як ви зауважуєте, всі досконалі графіки можуть бути забарвлені в поліноміальний час, але я думаю, що доказ передбачає еліпсоїдальні алгоритми лінійного програмування (див. Книгу Ґрецхеля, Ловаша та Шрівера), а не що-небудь пряме та комбінаторне. Існує маса різних класів графіків, які є підкласами досконалих графіків і мають більш прості алгоритми фарбування; Наприклад, хордальні графіки можна кольорово розфарбувати за допомогою ідеального замовлення на усунення.

Усі локально пов'язані графіки (графіки, у яких кожна вершина має з'єднане сусідство) можуть бути трикольоровими в поліноміальний час, коли існує забарвлення: просто продовжте кольоровий трикутник на трикутник.

Графіки максимального третього ступеня можуть бути кольоровими в поліноміальний час: легко перевірити, чи вони двосторонні, а якщо ні, то для них потрібні лише три кольори, або вони мають K4 як з'єднаний компонент і потребують чотирьох кольорів (теорема Брукса).

Плоскі графіки без трикутника можуть бути забарвлені в поліноміальний час з тієї ж причини: вони максимум 3-хроматичні (теорема Гетцша).

b-досконалі графіки дозволяють індукувати 5-цикли (на відміну від досконалих графіків), і було показано, що алгоритм поліноміального часу для фарбування Хоангом, Мафраєм і Мечеббеком . Характеристика b-досконалих графіків , arXiv: 1004.5306 , 2010.

(Шкода, що чудовий збірник графіків класів на ISGCI охоплює лише ширину швидкості, незалежного набору та домінування. Вона не включає інформацію про забарвлення.)

Також для графіків обмеженої ширини кліки (що більш загальне, ніж ширина ширини): Коблер та Ротика .

$n^{f(k)}$

Також ширину кліки важко обчислити, але існує алгоритм наближення Оума та Сеймура, "ппроксимізація ширини кліки та ширини гілки" (з експоненціальним наближенням).

$k$

Будь-яке сімейство графіків з обмеженою шириною дерева буде мати алгоритм поліноміального часу для обчислення хроматичного числа. Гамарник зводить проблему підрахунку кольорів до обчислення маргіналів певних марківських випадкових полів, визначених на тому ж графіку. Результат випливає, тому що поля MRF на обмежених графах ширини дерев можна обчислити в поліноміальний час за допомогою алгоритму з’єднання дерев .

Оновлення 8/26 : Ось приклад зменшення розмірів <#> кольорів <<> кольорів. Потрібно починати з належного забарвлення, яке може бути знайдено в поліноміальний час для обмежених графіків ширини дерева з версією алгоритму max-plus вершинного дерева. Тепер, щоб подумати про це ... вам не дуже потрібно # розмальовок для хроматичного числа, лише одне власне забарвлення

$P_5$$C_5$$P_5$

$2P_3$

Існують також результати Деніела Маркса щодо складності задачі хроматичного числення на графіках, які можуть бути хордальними шляхом максимум k вилучень вершин; для кожного виправленого k ця проблема є многочлена ( http://dx.doi.org/10.1016/j.tcs.2005.10.008 ).

Алгоритми розфарбовування квадри .
М. Берн, Д. Еппштейн та Б. Хетчінгс.
http: // arXiv: cs.CG/9907030 .
Algorithmica 32 (1): 87-94, 2002.

Ми розглядаємо кілька варіантів проблеми фарбування квадратів квадрату, щоб жодні два сусідні квадрати не були кольоровими. Ми надаємо прості алгоритми лінійного часу для 3-х забарвлених врівноважених кватрет з примиканням до краю, 4-х забарвлених неврівноважених квадратних квадратиків із сусідніми краями та 6-забарвлених врівноважених чи неврівноважених чотиривіршів із кутовою сусідністю. Кількість кольорів, використовуваних першими двома алгоритмами, є оптимальним; для третього алгоритму іноді може знадобитися 5 кольорів.