Чи існує теорема про ієрархію часу для PH?

Чи правда, що існують проблеми в ієрархії поліномів, розв’язувані за часом $O(n^k)$ (за допомогою змінної машини Тюрінга на деякому рівні поліноміальної ієрархії), які не вирішуються в $O(n^{k-1})$ на будь-якому рівні поліноміальна ієрархія? Іншими словами - чи існує теорема про ієрархію часу для ієрархії поліномів, як це існує для P та NP? Якщо є - посилання було б чудово.

Складність, з якою я зіткнувся, полягає в тому, що симулююча машина, моделюючи машини з усіх рівнів ієрархії, не перебуває на якомусь чіткому рівні ієрархії. Що призводить до пов’язаного питання - до якого найменшого класу належить такий симулятор? Чи є сенс у визначенні класу з $O(n)$ чергувань (або $O(\log n)$ / $O(\log \log n)$ )?

Так. Наприклад, звичайні доведення теореми тимчасової ієрархії (шляхом безпосереднього моделювання довільних машин) можуть бути використані , щоб показати , що для кожного , Σ з T I M E [ п до ] не є підмножиною П з Т I М Е [ п к - 1 ] . Причина переходу від Σ до $c \geq 1$$\Sigma_c TIME[n^k]$$\Pi_c TIME[n^{k-1}]$$\Sigma$$\Pi$ полягає в тому, що в цьому аргументі діагоналізації нам доводиться робити "протилежне" машині, яку ми моделюємо, тому нам доводиться працювати в універсальному режимі, коли симулююча машина знаходиться в екзистенційному режимі, і навпаки.

Крім того, можна отримати результат , як це без перемикання від до П : для кожного з ≥ 1 , Σ з T I M E [ п до ] не є підмножина Е з Т I М Е [ п до - 1 ] . Це можна зробити, скориставшись доказом ієрархії часу завдяки Заку (посилання: " Ієрархія машинного часу Тьюрінга ", Теоретична інформатика 26 (3): 327--333, 1983). Для чіткого посилання на цю версію теореми часової ієрархії див. Дітер ван Мелбебек$\Sigma$$\Pi$$c \geq 1$$\Sigma_c TIME[n^k]$$\Sigma_c TIME[n^{k-1}]$" Огляд нижньої межі щодо задоволеності та пов'язаних з цим проблем " (доступний на його домашній сторінці).

Відповідь на переглянуте питання (редакція 4 питання) - ні. Якщо задача L вирішується за часом O ( n ^k ) машиною ∑ _i P, то L може бути вирішена за лінійним часом машиною Тьюрінга з оракулом для L , яка є машиною ∑ _{i +1} P. Тому ∑ _i TIME [O ( n ^k )] ⊆ Σ _{i +1} TIME [O ( n )].