Жорсткість проблем FPT

13

Вершинна кришка може бути легко зведена до незалежного набору та навпаки.

Однак в умовах параметризованої складності незалежний набір важче, ніж Vertex Cover. Ядро з вершин існує для Vertex Cover, але незалежне безліч W 1 жорстких. $2k$

Як змінюється характер незалежного набору в контексті FPT і чому?

cc.complexity-theory parameterized-complexity fixed-parameter-tractable

— Ніхіл
джерело

9

Основна ідея відповіді: якщо ми зменшимо екземпляр параметризованого незалежного набору до параметризованого Vertex Cover, то параметр, ніж ми в кінцевому підсумку, залежить від розміру графіка, і не залежить тільки від вхідного параметра. Тепер ще трохи детальніше.

Як відомо, параметризована задача знаходиться в (рівномірному) FPT, якщо є алгоритм, який вирішує, чи міститься вхід у в часі для деяка функція . $Q$ $(x,k)$ $Q$ $f(k) |x|^{O(1)}$ $f$

Так як ви можете вирішити , є чи граф має верхове покриття розміру , вибираючи ребро, і розгалуження , на якому з двох кінцевих точок , щоб покласти в кришці вершини, це розгалуження тільки йде глибоко (інакше ви поклали більше , ніж вершини в обкладинці) і легко пробігає в часі ; тому -Vertex Cover знаходиться у FPT. $G$ $k$ $k$ $k$ $O(2^k n^2)$ $k$

Тепер припустимо, ми хочемо спробувати використовувати цей алгоритм, щоб показати, що параметризований незалежний набір є у FPT; припустимо, що нам дано графік на вершинах і хочемо вирішити, чи має він незалежний набір розміру . Це рівнозначно питанню, чи має вершина кришки розміром . Тому ми використовуємо наш вище алгоритм для обчислення відповіді за час . Для нашого алгоритму FPT експоненціальна функція за час роботи може залежати від параметра, який є , але він НЕ може залежати від розміру вводу, який дорівнює ; але підхід, який ми накреслили, використовує показник часу в $G$ $n$ $\ell$ $G$ $n - \ell$ $O(2^{n - \ell} n^2)$ $\ell$ $n$ $n - \ell$ і тому не є параметром FPT стосовно параметра . Ось чому той факт, що Vertex Cover знаходиться в FPT, не означає, що незалежний набір знаходиться в FPT. $\ell$

— Барт Янсен
джерело

Дякую за всі відповіді. У контексті параметризованої складності я розумію ідею, коли намагаюся вивчити твердість незалежного набору, міркуючи з Vertex Cover. Однак я не знайшов жодного пояснення, яке стосується незалежного набору, незалежного від контексту обкладинки Vertex? Чи є щось у структурі (або притаманний їй характер) пошуку незалежного набору, що робить його складніше?

— Нікхіл

Барт, чому немає параметра для якого зменшення працює за бажанням?

k

$k$

— Рафаель

@Raphael: Чи можете ви уточнити своє запитання? В тільки параметрах «дозволені» на питання , що ОП є відповідними розмірами рішень. Якщо ми дозволяємо довільні параметри, то є багато, для яких зменшення працює за бажанням (Якщо я правильно зрозумів цю фразу): Наприклад, якщо ми збережемо параметр як "розмір кришки вершини мінімального розміру" для обох проблем, то обидва є FPT; MinVC аргументом Барта, а MaxIndSet тим самим аргументом і використовуючи скорочення ОП. Лише тоді, коли ми наполягаємо, що параметр MaxIndSet є його розміром рішення, проблема стає W [1] -hard.

— gphilip

Ви чудово опинили моє запитання! У цьому сенсі питання ОП недоцільне: має сенс говорити лише про параметризовану складність для пар (непараметризованих) задачі та параметра. Я подумки заповнив прогалину "forall", це означає, що я також прочитав відповідь Барта в сенсі "для всіх " і вважав, що це неправильно / неповно. Тому моє питання. Інші відповіді, до речі, мають таку ж проблему. Мабуть, всі, крім мене, заповнюють прогалину канонічним вибором.

k

$k$

— Рафаель

6

Я б не сказав, що «природа» проблеми змінюється, що б це не означало. Все, що змінюється, - це параметр, тобто спосіб вимірювання складності проблеми.

Графіки з розміром кришки вершини не більше настільки структуровані, що можна ефективно зменшити їх розмір: Ми можемо жадібно знайти максимальну відповідність розміру не більше а решта графа - незалежний набір розміру принаймні . Використання правил скорочення , такі як зниження крони, число вершин може бути зменшено до самого більшого . $k$ $k$ $n-2k$ $2k$

З іншого боку, графіки, які мають вершинні кришки розміру не більше (або, що еквівалентно, максимальні незалежні мають розмір не менше ), схоже, не мають такої простої структури. Це можна зробити точно, як ви вказуєте: їх структура дозволяє нам кодувати будь-яку -проблему. $n-k$ $k$ $W[1]$

— Холгер
джерело

4

Наступне може дати певну інтуїцію різниці. Підмножина вершин S - це вершинна кришка G = (V, E) тоді і лише тоді, коли VS є незалежним набором, тому якщо MVC - розмір мінімальної кришки вершин, то MIS = | V | -MVC - розмір максимальний незалежний набір. Алгоритм FPT, параметризований X, дозволяє експоненціальним режимом виконання як функцію X. Випадковий графік на n вершинах з вірогідністю ребра в половину має високу вірогідність MIS розміром близько 2logn і MVC розміром приблизно n-2logn. Таким чином, принаймні для цих графіків алгоритм FPT, параметризований MVC, просто дозволяє набагато більше часу, ніж один параметризований MIS.

4

Хоча я погоджуюся з тим, що сказали інші, інший спосіб, який я вважаю корисним при роздумах над цими речами, - це переробити проблему як проблему розпізнавання, тобто "Чи вхідний графік належить до сімейства графіків, які мають покриття вершини не більше k?" / "Чи належить вхідний графік до сімейства графіків, які мають незалежний набір принаймні k?".

$O(k^2+2^k\log n)$ $O(n^2)$ $k^2$

Тож для мене це одне інтуїтивне пояснення, чому я б очікував, що легше буде розпізнати кришку малих вершин, ніж малий незалежний набір. Звичайно, повинно бути очевидним, що наведені думки ніде не є офіційним аргументом, і я думаю, що наприкінці дня найбільш переконливим доказом того, що насправді важче визнати незалежний набір розміром k, є саме W-твердість незалежної набір!

— Майкл Лампіс
джерело

k^{2}

$k^2$

k

$k$

(\binom{k}{2}) + k \cdot (n - k - 1)

$\binom{k}{2} + k \cdot (n - k - 1)$

k

$k$

n

$n$

@Bart: Для незалежного набору вершин вам потрібно лише переконатися, що між цими вершинами немає ребра, а в (простому) підграблі є не більше ребер порядку .

k

$k$ $k$

k \cdot (k - 1) \leq k^{2}

$k \cdot (k-1) \leq k^2$

k

$k$

— Матьє Шапель

3

Це дуже непряма відповідь і може не зовсім вирішити вашу стурбованість. Але FPT та ієрархія W тісно пов'язані з наближенням (проблеми FPT часто мають PTAS тощо). У цьому контексті зауважте, що для будь-якого графіка VC = n - MIS, і тому наближення для VC не дає апроксимації для MIS. Ось чому вам потрібні зменшення L для наближення. Я підозрюю, що існує еквівалентне поняття "зменшення збереження ядра" для параметризованої складності.

— Суреш Венкат
джерело

Чи існує поняття "зменшення збереження ядра" у FPT?

— Нікхіл

Я не знаю: звідси цитати :). Я чекаю параметрезованих експертів складності з утором в.

— Суреш Venkat

2

Ви просто викликали це! ;)

— Рафаель

4

Існує таке поняття: поліноміальне перетворення часу і параметра. Параметризована задача P многочлен-час і параметр перетворюється на Q (читати: ), якщо існує поліноміальний алгоритм часу, який задає екземпляр задачі , виводиться в поліноміальний час і еквівалентно екземпляр з таким чином, що . Використання для kernelization полягає в наступному: якщо , має поліноміальне ядро, а класичні версії і є NP-повними, то має полі ядро. (

P \leq_{p t p} Q

$P \leq _{ptp} Q$

(x, k)

$(x,k)$

P

$P$

(x^{'}, k^{'})

$(x', k')$

Q

$Q$

k^{'} \in k^{O (1)}

$k' \in k^{O(1)}$

P \leq_{p t p} Q

$P \leq_{ptp} Q$

Q

$Q$

P

$P$

Q

$Q$

P

$P$ dx.doi.org/10.1007/978-3-642-04128-0_57 )

— Барт Янсен

Інша стаття, в якій зазначається деяка залежність між наближеністю та FPT, є [ dx.doi.org/10.1016/S0020-0190(97)00164-6], де вони показують, що якщо проблема W [1] - тверда, то вона не може визнати ефективним PTAS де цільовою функцією є також параметр. Ефективна PTAS має часову складність , тоді як часова складність не допускається. Той самий результат є і в тези Базгана.

O (2^{1 / ϵ} n^{k})

$O(2^{1/\epsilon}n^k)$

O (n^{1 / ϵ})

$O(n^{1/\epsilon})$

— Джанлука Делла Ведова