Відношення інтегральності та наближення

Коли ми розглядаємо алгоритм наближення для задачі мінімізації, розрив інтегральності формулювання IP для цієї проблеми дає нижню межу співвідношення наближення для певного класу алгоритмів (наприклад, округлення або первинно-подвійний алгоритм). Насправді існує багато проблем, найкращий коефіцієнт наближення яких відповідає розриву цілісності.

Деякий алгоритм може мати кращий коефіцієнт наближення, ніж розрив цілісності для якоїсь проблеми, але я не знаю, чи існує такий приклад чи ні. Якщо відповідь "так", ви можете навести кілька прикладів?

Я знаю, що деякі проблеми допускають численні математичні формулювання. У таких випадках розглянемо математичну рецептуру з найменшим розривом цілісності, доки вона може бути розв’язана за час поліномів (можливо, деякі рецептури можуть використовувати оракули розділення).

Це питання пов'язане з [питанням: важливість розриву інтегральності] .

— Сніжок
джерело

Я б здогадався, що геометричний TSP був би прикладом такої проблеми, але я не маю жодних посилань.

— Jukka Suomela

А як щодо проблем, які визнають PTAS, використовуючи стратегію зсуву? Чи має хтось із них формулювання IP з довільно невеликим розривом інтегральності?

— Jukka Suomela

@Jukka геометричний TSP - хороший приклад. Приклад розриву 4/3 целочисленности є найкоротшим шляхом метрики на плоский графіку, і це повинно бути можливим , щоб перетворити в екземпляр евклидов TSP або

TSP в площині з

зазором

ℓ_{1}

$\ell_1$

1 + ϵ

$1+\epsilon$

— Лука Тревісан

Я почув, що це згадується як цікаве відкрите питання, чи можна реалізувати ПТС для задач на плоских графах, використовуючи постійну кількість рівнів релаксацій Шералі-Адамса або Лассера. (Там, де константа залежить від коефіцієнта наближення, якого хочеться досягти.) Слід знати, або принаймні доводити за сучасними методами, що задачі графіків, які мають PTAS у щільних графах (наприклад, максимальний розріз), також мають сімейство поліномів розмір релаксації з довільно невеликими розривами цілісності.

— Лука Тревісан

Супутнє запитання: Чи є якась проблема, яка доведена, що будь-який LP поліноміального розміру не може дати поточний найкращий відомий коефіцієнт наближення? Чи можливо довести таке, навіть для деяких типів обмеженого доступу?

— Дану

Відповіді:

Як вказувалося, прикладів досить багато.

Класичний приклад - максимальна відповідність, де "природне" розслаблення (без непарних обмежень) має розрив у 2, хоча, звичайно, є ефективний алгоритм. Цей показник не повністю кваліфікований, оскільки існує експоненціальна величина LP, яку можна вирішити за допомогою еліпсоїда.

Інтригуючим є розташування об'єкту з ємністю. Тут природне розслаблення має необмежений розрив цілісності. Однак алгоритми, засновані на локальному пошуку, дають постійні наближення факторів.

Ще одна дуже цікава (хоча це проблема максимізації) - це цей документ: http://www.cis.upenn.edu/~sanjeev/postscript/FOCS09_MaxMin.pdf . Тут LP має великий розрив, і все ж алгоритм, який використовує LP, може зробити краще.

— Кунал
джерело

Велике спасибі. Ця відповідь містить те, що я шукав, особливо документ FOCS, написаний Chakrabarty et al. (ця робота мене так цікавить). Тому я визначив цю відповідь прийнятою. Я все ще шукаю більше прикладів, і тому будь-хто, хто може навести інші приклади, буде дуже вдячний.

— Сніжна

Існують різні приклади, коли напіввизначене розслаблення програмування дозволяє наблизити, що перевершує відомі розриви цілісності для лінійних релаксацій програмування.

Наприклад, стандартна релаксація лінійного програмування max cut має розрив інтегральності 1/2, і це справедливо навіть для набагато більш досконалих релаксацій лінійного програмування (див. Де Ла Вега-Кеніон і Шонебек-Тревісан-Тулсіані), але Goemans -Алгоритм Вільямсона SDP має наближення .878 ...

$\Omega(\log n)$ $O(\sqrt{\log n})$

Мабуть, менш відомі, Карлофф і Цвік показують, що за допомогою SDP можна наблизити Макс 3SAT, у версії, в якій пункти можуть мати 1, 2 або 3 буквали, протягом 7/8, тоді як Геманс і Вільямсон вивчали лінійну релаксацію програмування, яку вони використовується для доведення наближення 3/4 (Яннакакіс давав наближення 3/4 раніше іншими методами), і релаксація LP Goemans-Williamson Max 3SAT легко помітити, що має розрив цілісності 3/4.

— Лука Тревісан
джерело

Результат Гранта також вирішує лінійні системи в GF_2. Для систем рівнянь з хорошим рішенням у вас є розрив цілісності СДП (у дуже сильній формі) 2, тоді як ви можете використовувати усунення Гаусса для точного вирішення проблеми.

— YI WU
джерело