Алфавіт односмугової машини Тьюрінга

Може кожна функція , що обчислимо в часі на одній машині Тьюринга з використанням алфавіту розміру бути обчислений час на односмуговій машині Тьюрінга з використанням алфавіту розміром (скажімо, та порожнього)? $f : \{0,1\}^* \to \{0,1\}$ $t$ $k = O(1)$ $O(t)$ $3$ $0,1,$

(Із коментарів, викладених нижче ОП) Зауважте, що введення записується за допомогою , але машина Тьюрінга, що використовує алфавіт розміром може перезаписати символи введення символами з великого алфавіту. Я не бачу, як кодувати символи в більшому алфавіті в менший алфавіт, не потребуючи зміщення вводу, навколо якого буде коштувати час . $0,1$ $k$ $n^2$

computability turing-machines

— Ману
джерело

Зверніть увагу, що введення записується за допомогою , але машина Тюрінга, що використовує алфавіт розміром може перезаписати символи введення символами з великого алфавіту. Я не бачу, як кодувати символи в більшому алфавіті в менший алфавіт, не потребуючи зміщення вводу, навколо якого буде коштувати час .

0, 1

$0,1$

k

$k$

n^{2}

$n^2$

— Ману

@Emanuele: Вам слід відредагувати питання та підкреслити цей аспект; інакше це звучить точно як стандартна вправа підручника ...

— Юкка Суомела

@Tsuyoshi, я думаю, ви неправильно зрозуміли питання.

— Суреш Венкат

@Jukka: На односмуговій машині Тьюрінга все, що можна обчислити за час , насправді є звичайними мовами.

o (n \log n)

$o(n \log n)$

— Крістофер Арнсфельт Хансен

@Abel: Результат, який ви цитуєте від Arora та Barak, вирішує головну проблему тут, оскільки в їхній моделі (яка є досить стандартною для багатоканальних ТМ) вони мають окрему вхідну стрічку для читання.

— Джошуа Грохов

Відповіді:

Часткова відповідь, якщо TM працює в $o( |x| \log |x|)$

Якщо TM4 - це 4-символьний TM (з алфавітом ), який обчислює , тобто визначає мову в $\Sigma_4 = \{\epsilon,0,1,2 \}$ $f:\{0,1\}^* \to \{0,1\}$ $L = \{ x | f(x) = 1 \}$ $(o( |x| \log |x|))$

Одна складність лінійно-часової детермінованої стрічки становить $1DLIN = 1DTime(O(n))$

Генні довів (1), що $REG = 1DLIN$
Кобаяші довів (2), що $REG = 1DTime(o(n \log n))$

Тож регулярний і очевидно все ще регулярний над алфавітом $L$ $\Sigma_3 = \{\epsilon,0,1\}$

Отже, існує DFA, який вирішує L і використовує лише символи в . Односмуговий 3-символьний TM3 може бути побудований безпосередньо з DFA, і він вирішує L, використовуючи той самий незамкнутий вхід оригінального TM4 . $\Sigma_3$

... ви не можете створити його безпосередньо з TM4, але TM3 існує.

Якщо TM4 працює в ви можете перенести вхід і здійснити пряме перетворення з TM4 в TM3. $\Omega(n^2)$

Як зазначається в коментарях, складний випадок , коли TM4 працює в . $\Omega(n\log n) \cap o(n^2)$

(1) Хенні, односмугові, офлайн-обчислення машин Тьюрінга (1965)

(2) Кобаясі, Про структуру одноканальної недетермінованої ієрархії машин Тюрінга (1985)

— Марціо Де Біасі
джерело

Крапку про вже відзначив Крістофер Арнсфельт Хансен у коментарях нижче питання. Дійсно цікавий випадок - .

o (n \log n)

$o(n\log n)$

Ω (n \log n) \cap o (n^{2})

$\Omega(n\log n) \cap o(n^2)$

— Kaveh

Ти маєш рацію, що я не помітив коментаря Крістофера. Я погано висловив цікавий випадок (не знаю, як це довести), тому я оновив відповідь.

— Marzio De Biasi

@Kaveh: Що з машинами -час, коли виникають проблеми з обіцянками? Ми вже знаємо, як перетворити, наприклад, будь-яку машину, яка вирішує проблему обіцянки за час? Я не бачу, як це зробити, і з'єднання з звичайними мовами більше не вдається (якщо я не помиляюся).

o (n \log n)

$o(n \log n)$

O (n)

$O(n)$

— Jukka Suomela

@Kaveh: Чи не можна просто прийняти проблему яка не є звичайною мовою, але її можна вирішити за допомогою машини Тьюрінга в, наприклад, раундах , і визначити проблему з обіцянкою так: так, екземпляри складаються з рядка наступним бітами прокладки; ні-екземпляри складаються з рядка наступним бітами накладки. Проблема обіцянки вирішується за час, і вона не вирішується за допомогою машини з кінцевим станом.

L

$L$

O (n^{2})

$O(n^2)$

x \in L

$x \in L$

| x |^{2}

$|x|^2$

x \notin L

$x \notin L$

| x |^{2}

$|x|^2$

O (n)

$O(n)$

— Jukka Suomela

@Kaveh: Я думаю, що інтуїтивний аргумент виходить з ладу через наступну причину: Так, є проблема, яка не обіцяє, і вирішується тією ж машиною. Однак час роботи машини може бути таким же високим, як для певних входів. (Наочно, машина не може перевірити , що є досить оббивка, і , отже , «перестрахуватися» , він повинен вважати , що є досить оббивка після префікса Потім відходи. час , якщо визначити , і це занадто багато, якщо, наприклад, у нас були тільки біти набивки.)

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$

x

$x$

Θ (| x |^{2})

$\Theta(|x|^2)$

x \in L

$x \in L$

Θ (| x |)

$\Theta(|x|)$

— Jukka Suomela

-4

Для всіх розмірів алфавіту більше , час виконання змінюється лише постійним коефіцієнтом, оскільки для всіх . $1$ $\log_k(x) \in \Theta(\log_l(x))$ $k, l > 1$

~~Розробка:~~ В часових кроках, передбачувана машина Тьюрінга може обробляти не більшість позицій / біт. Біти взяті з -нарного алфавіту, wlog . Створіть нову машину Тьюрінга, замінивши кожен перехід на переходи; кожен старий біт кодується бітами в (пробіли зарезервовані для позначення невикористаних комірок). Зауважте, що це по суті двійкові кодовані цифри. $t$ $t$ $k$ $\{0,1,\dots,k-1\}$ $\lceil \log_2(k) \rceil$ $\lceil \log_2(k) \rceil$ $\{0,1\}$

Очевидно, що машина Тьюрінга виконує щонайбільше кроки. $\lceil \log_2(k) \rceil \cdot t \in \mathcal{O}(t)$

Додавання: вище аргументація розривається, оскільки операції, що перезаписують вхідний символ з бітом, не в не можуть бути переведені безпосередньо; вхід повинен бути зміщений. Це можна змінити, переклавши початковий вхід перед початком обчислення (по суті). це можна зробити в часі , в результаті чого виконує загальний час виконання . $\{0,1\}$ $\mathcal{O}(n^2)$ $\mathcal{O}(n^2) + \lceil \log_2(k) \rceil \cdot t$

Отже, використання лише двох символів для кодування проміжних результатів не має асимптотичного впливу, якщо , але попередня обробка домінує над швидшими алгоритмами. Оскільки найбільш цікаві функції знаходяться в (наприклад, додавання двох чисел), можна вважати проблему незначною. $t(n) \in \Omega(n^2)$ $\Omega(n^2)$

— Рафаель
джерело

Поки ви не переконаєте мене, чому це повинно бути так, я буду тримати цю заяву.

— Андрій Бауер

Я хотів би почути деякі докази вашої претензії. Все це, лише одна претензія.

— Андрій Бауер

О, я бачу, про що ви маєте на увазі. Добре вибач. Однак питання не в цьому . Це незначна зміна.

— Андрій Бауер

Я думаю, що випадок з t = Ω (n ^ 2) - це простий випадок, тому що ви можете дозволити собі час для зміщення вхідного рядка. Суттєвий випадок, коли t = o (n ^ 2). Я не знаю, наскільки важливо розглянути односмуговий ТМ з o (n ^ 2) часом, але питання про це.

— Tsuyoshi Ito

Оригінальне запитання вже передбачає, що випадок простий; отже, я не дуже бачу, як ця відповідь додає щось нове ...

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— Jukka Suomela