Проблеми в NP, але не в середньому-P / poly

Короп-Ліптон Theoem стверджує , що якщо , то коллапсирует . Тому, якщо припустити розділення між та , жодна -повна проблема не буде належати до .P H Σ P 2 Σ P 2 Σ P 3 N P P / p o l $\mathsf{NP} \subset \mathsf{P/poly}$$\mathsf{PH}$$\mathsf{\Sigma^P_2}$$\mathsf{\Sigma^P_2}$$\mathsf{\Sigma^P_3}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P/poly}$

Мене цікавить наступне питання:

Якщо припустити, що не руйнується, або при будь-якому іншому розумному припущенні щодо структурної складності, які важкі в середньому проблеми, як доведено, не лежать у (якщо є)?$\mathsf{PH}$ $\mathsf{NP}$$\mathsf{Average\mbox{-}P/poly}$

Визначення можна знайти у відносинах між середньою та найгіршою складністю . Дякую Цуйосі, що він зазначив, що мені потрібно використовувати замість .$\mathsf{Average\mbox{-}P/poly}$P / p o l $\mathsf{Average\mbox{-}P/poly}$$\mathsf{P/poly}$

Я думаю , що є такі проблеми, як (за версією рішенням) ФАКТОРИНГУ або DLOG які передбачуваної лежать в , але ця гіпотеза не доведена на основі розділення між класами складності. (Будь ласка, виправте мене, якщо я помиляюся.)$\mathsf{NP} - \mathsf{Average\mbox{-}P/poly}$

Це дещо вдосконалена версія моїх двох коментарів до цього питання.

Обмежимо нашу увагу проблемами розподілу в DistNP (ака (NP, P-обчислювальна)) для простоти. Тоді ви шукаєте проблему в DistNP ∖ Середній-P / poly. Тавтологічно така проблема існує тоді і лише тоді, коли DistNP ⊈ Середній-P / poly. І якщо DistNP ⊈ Середній-P / poly, то вся проблема, повний DistNP, лежить поза середнім P / poly, оскільки середня величина P / poly закрита при зменшенні середнього випадку.

(Зважаючи на більш великий клас SampNP (ака (NP, P-samplable) ) замість DistNP не сильно змінює ситуацію, тому що DistNP ⊆ Середній-P / poly тоді і лише якщо SampNP ⊆ Середній-P / poly. Цей еквівалент є прямим наслідок результату Імпальязцо та Левіна [IL90] про те, що кожна проблема розподілу в SampNP в середньому може бути приведена до певної проблеми розподілу в DistNP.)

Я не знаю, яке природне припущення передбачає DistNP ⊈ Середній-P / poly. Припущення, що поліноміальна ієрархія не руйнується, невідомо, що це означає ще слабший наслідок, що DistNP ⊈ Середній-P, згідно з розділом 18.4 Arora і Barak [AB09]: “[…], хоча ми знаємо, що якщо P = NP , тоді поліноміальна ієрархія PH руйнується до P […], у нас немає аналогічного результату для середньої складності випадку. "

Список літератури

[AB09] Саньєєв Арора і Боаз Барак. Комп'ютерна складність: сучасний підхід , Cambridge University Press, 2009.

[IL90] Рассел Імпальяццо та Леонід А. Левін. Немає кращих способів генерування важких екземплярів NP, ніж вибір однаково випадково. У 31-му щорічному симпозіумі з основ інформатики , 812–821, жовтень 1990 рр. Http://dx.doi.org/10.1109/FSCS.1990.89604