Ефективно обчислювана функція як зразок прикладу гіпотези Мобіуса Сарнака

Нещодавно Гіл Калай та Дік Ліптон написали чудову статтю про цікаву гіпотезу, запропоновану Пітером Сарнаком, експертом з теорії чисел та Гіпотезою Рімана.

Концепція. Нехай - функція Мебіуса . Припустимо, - функція з входом у вигляді двійкового подання , тоді $\mu(k)$ $f: \mathbb{N} \to \{-1,1\}$ $\mathsf{AC}^0$ $k$ $k$
$\sum_{к \leq н} мк (к) \cdot f (к) = о (н) .$ $\sum_{k \leq n} \mu(k) \cdot f(k) = o(n) \text.$

Зауважимо, що якщо то ми маємо еквівалентну форму теореми числа простих . $f(k) = 1$

ОНОВЛЕННЯ : Бен Грін на MathOverflow надає короткий документ, який стверджує, що підтверджує домисел. Погляньте на папір .

З іншого боку, ми знаємо, що встановивши (з незначною модифікацією, щоб діапазон був у ), отримана сума має оцінку Існує верхня межа, яку можна обчислити в , тому обмеження, запропоноване на у припущенні не можна розслабитися до функції . Моє запитання: $f(k) = \mu(k)$ $\\{-1,1\\}$

\sum_{к \leq н} мк (к)^{2} = Ω (н) .

$\sum_{k \leq n} \mu(k)^2 = \Omega(n) \text.$

μ (k)

$\mu(k)$

U P \cap c o U P \subseteq N P \cap c o N P

$\mathsf{UP} \cap \mathsf{coUP} \subseteq \mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$

f (k)

$f(k)$

N P

$\mathsf{NP}$

Який найнижчий клас складності ми знаємо в даний час, такий, що функція в задовольняє оцінці Зокрема, оскільки деякі теоретики вважали, що обчислення не в , чи можемо ми надати інші функції що передбачає лінійний приріст підсумовування? Чи можна отримати ще кращі межі? $\mathsf{C}$ $f(k)$ $\mathsf{C}$
$\sum_{к \leq н} мк (к) \cdot f (к) = Ω (н) ?$ $\sum_{k \leq n} \mu(k) \cdot f(k) = \Omega(n) \text{?}$ $\mu(k)$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$ $f(k)$

— Сісен-Чі Чанг 張顯之
джерело

Деякі квантові класи, такі як P ^ {BQNC}, також повинні працювати, оскільки факторинг лежить у цьому класі.

— Робін Котарі

Це навіть відомо, якщо

для фіксованого

f (k) = k_{i}

$f(k) = k_i$

i

$i$

— Ману

@Emanuele, гарне запитання. Показникова функція i-го біта у двійковому поданні k є лінійним "дужним многочленом", але він має дуже високі коефіцієнти, тому це може не випливати з теореми Грін-Дао про співвідношення функції Мобіуса з обмеженою -наступні наслідки. Наслідки з обмеженим ступенем мають особливі випадки з обмеженими ступенями дужок, але їх результат може мати певні обмеження на величини коефіцієнтів

— Лука Тревісан,

І чи відоме це

f \in N C^{0}

$f \in NC^0$

— domotorp

Чи хочете ви функцію

з діапазоном

або

або щось інше?

f

$f$

{- 1, 0, 1}

$\{-1,0,1\}$

{- 1, 1}

$\{-1,1\}$

— Юкка Суомела

Там були цікаві розробки з цієї проблеми, проте заміна з АСС (2) (а саме дозволяє модулю 2 воріт, а) по - , як і раніше добре поза досяжністю. Деякий прогрес поза теоремою Бена Гріна можна знайти в цьому запитанні про МО https://mathoverflow.net/questions/57543/walsh-fourier-transform-of-the-mobius-function , а також у цьому https://mathoverflow.net / питання / 97261 / мобіус-випадковість-рудін-шапіро-послідовність . Крім того, Жан Бурген довів випадковість Мобіуса для кожної монотонної функції (з точки зору двійково-розрядного розширення). $AC^0$ $f$

— Гіл Калай
джерело