Ефективно обчислювана функція як зразок прикладу гіпотези Мобіуса Сарнака


35

Нещодавно Гіл Калай та Дік Ліптон написали чудову статтю про цікаву гіпотезу, запропоновану Пітером Сарнаком, експертом з теорії чисел та Гіпотезою Рімана.

Концепція. Нехай - функція Мебіуса . Припустимо, - функція з входом у вигляді двійкового подання , тоді f : N{ - 1 , 1 } A C 0 k k k n μ ( k ) f ( k ) = o ( n ) .мк(к)f:N{-1,1}АС0кк

кнмк(к)f(к)=о(н).

Зауважимо, що якщо то ми маємо еквівалентну форму теореми числа простих .f(к)=1

ОНОВЛЕННЯ : Бен Грін на MathOverflow надає короткий документ, який стверджує, що підтверджує домисел. Погляньте на папір .

З іншого боку, ми знаємо, що встановивши (з незначною модифікацією, щоб діапазон був у ), отримана сума має оцінку Існує верхня межа, яку можна обчислити в , тому обмеження, запропоноване на у припущенні не можна розслабитися до функції . Моє запитання:f(к)=мк(к)-1,1μ(k)UPcoUPNPcoNPf(k)NP

кнмк(к)2=Ω(н).
мк(к)UПcоUПNПcоNПf(к)NП

Який найнижчий клас складності ми знаємо в даний час, такий, що функція в задовольняє оцінці Зокрема, оскільки деякі теоретики вважали, що обчислення не в , чи можемо ми надати інші функції що передбачає лінійний приріст підсумовування? Чи можна отримати ще кращі межі?Сf(к)С

кнмк(к)f(к)=Ω(н)?
мк(к)ППf(к)

3
Деякі квантові класи, такі як P ^ {BQNC}, також повинні працювати, оскільки факторинг лежить у цьому класі.
Робін Котарі

5
Це навіть відомо, якщо для фіксованого i ? f(к)=кii
Ману

2
@Emanuele, гарне запитання. Показникова функція i-го біта у двійковому поданні k є лінійним "дужним многочленом", але він має дуже високі коефіцієнти, тому це може не випливати з теореми Грін-Дао про співвідношення функції Мобіуса з обмеженою -наступні наслідки. Наслідки з обмеженим ступенем мають особливі випадки з обмеженими ступенями дужок, але їх результат може мати певні обмеження на величини коефіцієнтів
Лука Тревісан,

1
І чи відоме це ? fNС0
domotorp

Чи хочете ви функцію з діапазоном { - 1 , 0 , 1 } або { - 1 , 1 } або щось інше? f{-1,0,1}{-1,1}
Юкка Суомела

Відповіді:


4

Там були цікаві розробки з цієї проблеми, проте заміна з АСС (2) (а саме дозволяє модулю 2 воріт, а) по - , як і раніше добре поза досяжністю. Деякий прогрес поза теоремою Бена Гріна можна знайти в цьому запитанні про МО https://mathoverflow.net/questions/57543/walsh-fourier-transform-of-the-mobius-function , а також у цьому https://mathoverflow.net / питання / 97261 / мобіус-випадковість-рудін-шапіро-послідовність . Крім того, Жан Бурген довів випадковість Мобіуса для кожної монотонної функції f (з точки зору двійково-розрядного розширення).АС0f

Використовуючи наш веб-сайт, ви визнаєте, що прочитали та зрозуміли наші Політику щодо файлів cookie та Політику конфіденційності.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.