Чи існує алгоритм, щоб ефективно підтримувати інформацію про зв’язок для DAG за наявності вставок / видалень?

Враховуючи спрямований ациклічний графік , чи можна ефективно підтримувати наступні операції?$G(V,E)$

• : Визначає, чи є шлях у G від вузла a до вузла$isConnected(G,a,b)$$G$$a$$b$
• : додає ребро від a до b у графі$link(G,a,b)$$a$$b$$G$
• : Видаляє край від a до b в$unlink(G,a,b)$$a$$b$$G$
• : додає вершину до G$add(G,a)$
• : видаляє вершину з G$remove(G,a)$

Кілька приміток:

• Якщо ми заборонили , здається, було б легко підтримувати інформацію про з'єднання, використовуючи структуру даних типу нерозділеного набору.$unlink$
• Очевидно, що можна було б реалізувати, використовуючи пошук по глибині або вперше в широту, використовуючи наївне покажчикове представлення графіка. Але це неефективно.$isConnected$

Я сподіваюся на амортизований постійний або логарифмічний час для всіх трьох операцій. Чи можливо це?

Описана вами проблема - це повністю динамічна доступність DAG (також її називають повністю динамічним транзитивним закриттям DAG). Це називається повністю динамічним, оскільки люди також вивчають версії, де можливі лише видалення (тоді це називається декрементованою доступністю), і де можливі лише вставки (називаються додатковою досяжністю).

Між часом оновлення та часом запиту є кілька компромісів. Нехай - кількість ребер і n - кількість вершин. Для DAG, Demetrescu та Italiano (FOCS'00) дали рандомізовану структуру даних, яка підтримує оновлення (крайові вставки або делети) за час O ( n 1.58 ) та запити про доступність за час O ( n 0,58 ) (також підтримуються вставки / делети вузла) , в O (1) час); цей результат був розширений Санковським (FOCS'04) для роботи для загальнонаправлених графіків. Також для DAG, Roditty (SODA'03) показав, що ви можете підтримувати матрицю перехідного замикання за загальний час O ( m n + I · n 2 + D ), де$m$$n$$n^{1.58}$$n^{0.58}$$mn+I·n^2+D$ - кількість вставок, D - кількість видалень і, звичайно, час запиту - O ( 1 ).$I$$D$$1$

Для загальнонаправлених графіків відомі такі (оновлення, запит) часи: (O ( ), O (1)) (Demetrescu та Italiano FOCS'00 (амортизовано), Sankowski FOCS'04 (найгірший випадок)), ( O ( m $n^2$ ),O($m\sqrt{n}$ )) (Roditty, Zwick FOCS'02), (O (m+nlogn), O (n)) (Roditty, Zwick STOC'04), (O (n 1.58 ), O (n 0.58 )) і (O (n 1.495 ), O (n 1.495 )) від Sankowski (FOCS'04).$O(\sqrt{n}$$m+n\log n$$n$$n^{1.58}$$n^{0.58}$$n^{1.495}$$n^{1.495}$

Одержання полілогіармічного часу запиту, не надто збільшуючи час оновлення, є головною відкритою проблемою навіть для DAG.

Я думаю, що найкращі результати до цих пір обговорюються у "Витримці динамічних матриць для повністю динамічного перехідного закриття" . У цій статті розглядається рандомізований алгоритм з часом запиту та часом оновлення O ( n 1,58 ) .$O(n^{0.58})$$O(n^{1.58})$

(Це стосується лише першої версії вашого запитання, з linkі unlinkбез addі remove.)