Чи розпізнається ця мова за допомогою 3 символів TM в O (n log n)?

Я грав із дуже цікавим і досі відкритим питанням " Алфавіт односмугової машини Тюрінга " (Емануеле Віола) і придумав наступну мову:

$L = \{ x \in \{0,1\}^n \text{ s.t. } |x| = n = 2^m \text{ and } count1(x) = k * m; \; n,m,k \geq 1 \}$

де - число s у рядку x. $count1(x)$ $1$

Наприклад, якщо x = 01101111, то n = 8, m = 3, k = 2; так $x \in L$

Чи можна розпізнати L машиною Тьюрінга з однією стрічкою та 3 алфавітом символів в кроках ? $\{ \epsilon, 0, 1 \}$ $O(n \log{n})$

Якщо ми використовуємо 4 символи, відповідь - так:

перевірити, чи замінюючи с на і с на і одночасно зберігати с праворуч; $|x|=2^m$ $0$ $\epsilon$ $1$ $2$ $m$ $1$
потім порахуйте число s модуля в . $2$ $m$ $O(n \log{n})$

Наприклад:

....01101111....... input x  (|x| = 8 = 2^3)
000.021.1212.0001.. div 2, first sweep (000. can safely be used as a delimiter)
000.022.1222.00011. div 2, second sweep
000.022.2222.000111 div 2, third sweep --> m = 3 (= log(n) )
000..22.2222....111 cleanup (original 1s are preserved as 2)
000..22.2221102.... start modulo m=3 calculation
000..22.2210022.... mod 3 = 2
000..22.2000222.... mod 3 = 0
000..22.0012222.... mod 3 = 1
000..20112.2222.... mod 3 = 2
000..11122.2222.... ACCEPT

cc.complexity-theory turing-machines time-complexity

— Марціо Де Біасі
джерело

Якщо

- натуральне число, представлене

ніж

завжди дорівнює

і тому

| x | = n = 2^{m}

$\vert x \vert = n = 2^m$

x

$x$

c o u n t 1 (x)

$count1(x)$

1

$1$

L = {10}

$L = \lbrace 10 \rbrace$

— Марк Бері

Вибачте | х | означає довжину рядка x. Приклад: x = 01101111, n = 8, m = 3, k = 2, і таким чином

x \in L

$x \in L$

— Marzio De Biasi

До речі, це відмінний кандидат на питання Емануеле, оскільки він знаходиться в

: він не є регулярним накачувальною лемою, тому не може бути

, але це

Θ (n \log n)

$\Theta(n \log n)$

o (n \log n)

$o(n \log n)$

O (n \log n)

$O(n \log n)$

— Джошуа Грохов

Не можете ви використати ту саму ідею, що у вас у випадку з 4 символами , із такими модифікаціями:

Завжди обробляйте пару символів одночасно.
$(00, 01, 10, 11) \mapsto (\epsilon0, \epsilon1, 0\epsilon, 1\epsilon)$ $\epsilon\epsilon$
Використовуйте аналогічний трюк для кроків "mod 2".

$O(1)$

— Юкка Суомела
джерело

Ти правий! ... тепер я підозрюю, що відповідь на запитання Емануеля - так ... але він все ще відкритий, тому, ймовірно, це не так просто довести це формально :-( Дякую!

— Marzio De Biasi