Параметризована складність номера перетину графіка

Що робити, якщо щось відомо про параметризовану складність обчислення номера перетину графа (найменша кількість кліків, необхідних для покриття всіх його ребер)?

Здавна відомо, що він є NP-повним, і це, очевидно, FPT, оскільки він має ядро: якщо ви можете покрити графік kліками, то є щонайменше 2 k різних закритих околиць вершин (дві вершини мають однакові сусідні квартали, якщо вони належать до одного набору кліків), і ви також можете зберігати лише одну вершину на околиці. Чи є це спостереження в літературі десь? Яка залежність від k відома?$k$$2^k$$k$

Проблема була вивчена під назвою Обкладинка кліків Edge, і ваші спостереження щодо скорочення даних були використані для отримання ядра з вершинами 2 ^ k. Існує давно відкрита проблема, чи існує ядро ​​полінома. Я не знаю про хороші межі часу роботи, див. Http://theinf1.informatik.uni-jena.de/publications/clique-cover-jea07.pdf

Відповідаючи на моє власне запитання, тепер на arXiv з'являється препринт, що показує, що подвійна експоненція є правильною залежністю, якщо припустити гіпотезу експоненціального часу . Див. " Відомі алгоритми для EDGE CLIQUE COVER, ймовірно, оптимальні ", Marek Cygan, Marcin Pilipczuk, and Michał Pilipczuk, arXiv: 1203.1754 та SODA 2013