Які відмінності між логічними відношеннями та моделюванням?

Я початківець, який працює над методами, що підтверджують еквівалентність програми. Я прочитав декілька робіт про визначення логічних зв’язків або моделювання, щоб довести, що дві програми є рівнозначними. Але я дуже заплутаний у цих двох техніках.

Я знаю лише, що логічні відносини індуктивно визначаються, тоді як симуляції ґрунтуються на коіндукції. Чому вони визначаються таким чином? Які їх плюси і мінуси відповідно? Яку вибрати в різних ситуаціях?

У мене є відповідь на це питання, яке, можливо, є новим. Насправді я все ще замислююся над цим протягом останніх 6 місяців або близько того, про це ще не було написано в документах.

Загальна теза полягає в тому, що принципи реляційних міркувань, такі як "логічні відносини", "симуляції" і навіть "інваріанти", - це прояви абстрагування даних або приховування інформації. Де б не ховалася інформація, ці принципи з'являються.

Першими, хто це відкрив, були теоретики автоматів. Автомати мають прихований стан. Тож вам потрібні реляційні міркування, щоб говорити про їх еквівалентність. Теоретики автоматів деякий час боролися з гомоморфізмами, здавались і придумали поняття під назвою "реляційне покриття", яке є формою моделювання відносин.

Мілнер підхопив цю ідею в маловідомому, але дуже фундаментальному документі під назвою " Алгебраїчне поняття імітації між програмами " в 1971 році. Хоар знав це і використовував його, коли створив " Доказ правильності подання даних " в 1972 році (але використовував абстракція функціонує замість відносин, оскільки він вважав, що вони "простіші"). Пізніше він відкликав заяву про простоту і повернувся до використання відносин у " Уточненні даних ". Рейнольдс використовував реляційне міркування у « Майстерності програмування", Глава 5 (1981). Він вважав, що відносини є більш природними та загальними, ніж функції абстракції. Якщо ви повернетесь і прочитаєте цю главу, ви знайдете ідеї відносної параметричності, що ховаються навколо, чекаючи, коли їх відкриють. Звичайно, достатньо, через два роки, Рейнольдс опублікував «Типи, абстракція та параметричний поліморфізм» (1983).

Схоже, всі ці ідеї не мають нічого спільного з типами, але вони насправді є. Мови держав і моделі мають вбудовану абстракцію даних. Для приховування інформації вам не потрібно визначати "абстрактний тип даних". Ви просто оголосите локальну змінну і приховуєте її. Ми можемо навчити її першокурсникам на уроках Java протягом перших кількох тижнів. Немає поту.

З іншого боку, функціональні мови та моделі повинні заховати свою інформацію через типи . Функціональні моделі не мають вбудованої абстракції даних. Ми повинні додати його прямо, використовуючи або ∃ . Отже, якщо ви перекладете стаціонарну мову у функціональну мову, ви помітите, що вся локальна держава переходить у тип змінних. Детальний опис того, як це працює, дивіться у моїй роботі " Об'єкти та класи на мовах, схожих на алголь ", але ідеї дійсно походять від Рейнольдса 1981 ("Суть Алгола"). Ми просто краще розуміємо ці класичні ідеї.$\forall$$\exists$

Візьміть дві машини і M ', які ви хочете довести, що вони рівнозначні. Мілнер 1971 говорить, визначте відношення між станами M і M ' і покажіть, що ці дві машини зберігають відношення. Параметричність Рейнольдса говорить, подумайте про стани машин як про належність до типів X і X ' . Визначте відношення R між ними. Якщо машини типу F ( X ) і F ( X ' ) , параметризовані за типами їх стану, то перевірте, чи обидві машини пов'язані відношенням $M$$M'$$M$$M'$$X$$X'$$R$$F(X)$$F(X')$ . $F(R)$

Отже, моделювання та реляційна параметричність - це, по суті, одна і та ж ідея . Це не просто поверхнева схожість. Перший створений для мов, що володіють державою, де є вбудована абстракція даних. Останнє зроблено для мов без громадянства, де абстрагування даних отримується за допомогою змінних типів.

А як щодо логічних відносин тоді? З іншого боку, логічні стосунки представляються більш загальною ідеєю. У той час як параметричність говорить про те, як співвідносити змінні типу в межах однієї моделі, логічні зв'язки, як видається, стосуються типів у різних моделях. (Дейв Кларк написав блискучу експозицію цього раніше.) Але я відчуваю (і це ще потрібно продемонструвати), що це примірник певної форми параметричності вищого типу, який ще не сформульований. Слідкуйте за досягненням прогресу на цьому фронті.

[Примітка додано] Зв'язок між логічними відношеннями та моделюванням обговорюється в нашій останній статті Логічні відносини та параметричність: програма Рейнольдса для теорії категорій та мов програмування .

Однією з ключових відмінностей є те, що логічні відносини використовуються як методика показу, що клас програм (наприклад, вхід до компілятора) відповідає іншому класу програм (наприклад, вихід компілятора), тоді як відносини моделювання використовуються показати відповідність між двома програмами.

Схожість між двома поняттями полягає в тому, що вони обидва визначають відношення, яке використовується для показу відповідності між двома різними сутностями. У певному сенсі можна розглядати логічне відношення як симуляційне відношення, яке визначається індуктивно на синтаксисі типів. Але існують різні види відносин моделювання.

Логічні відносини можуть використовуватися для показу відповідності між такою мовою, як ML, та її перекладом на мову складання, як у прочитаному вами документі. Логічне відношення визначається індуктивно на структурі типу. Логічне співвідношення забезпечує композиційний засіб для показу, наприклад, що переклад правильний, показуючи, що переклад є правильним для кожного конструктора типів. У типах функцій умова правильності сказала б щось подібне, переклад цієї функції вимагає добре перекладеного вводу на добре переведений вихід.

Логічні відносини - це універсальна техніка для мов, заснована на лямбдальному обчисленні. До інших застосувань логічних відносин належать ( звідси ): характеристика лямбда-дефінітивності, денотаційні семантичні визначення, характеристика параметричного поліморфізму, моделювання абстрактної інтерпретації, перевірка уявлень даних, визначення повністю абстрактної семантики та моделювання місцевого стану мовами вищого порядку.

Імітаційні відносини зазвичай використовуються для показу еквівалентності двох програм. Зазвичай такі програми виробляють якесь спостереження, таке як надсилання повідомлень по каналах. Одна програма P імітує інший Q, якщо P може робити все, що може Q, хоча, можливо, і більше.

Бісумуляція, приблизно, є двома імітаційними відносинами, зібраними разом. Ви показуєте, що програма P і імітує програму Q, і що програма Q може імітувати програму P і у вас є бісимуляція, хоча додаткові умови зазвичай є. Запис Вікіпедії про бісимуляцію - це хороший (точніший) вихідний пункт. Існують тисячі варіантів ідеї, але це фундаментальна ідея, яка була заново винайдена у більш-менш однаковій формі інформатики, модальної логіки та теорії моделей. Стаття Сангіоргі дає чудову історію ідеї.

Один документ, що встановлює зв'язок між цими двома поняттями, - це Примітка про логічні відносини між семантикою та синтаксисом Енді Піттса, яка використовує логічні відношення, зрештою, семантичне поняття, визначене синтактально, для доведення певної властивості щодо прикладного бісимуляції , що є суто синтаксичним поняттям.

Два типи відносин, як видається, використовуються в різних контекстах. Логічне моделювання для набраних мов та відносин моделювання при роботі з обчисленнями процесів або модальною логікою, що інтерпретується через перехідні системи. Дейв Кларк дав багато інтуїтивного пояснення, тому я просто додам кілька покажчиків, які можуть допомогти.

Була проведена робота щодо характеристики обох понять з використанням абстрактної інтерпретації. Це може бути не те, що ви хочете, але принаймні обидва поняття трактуються в одних і тих же математичних рамках.

Самсон Абрамський використовував логічні відносини, щоб довести обґрунтованість та припинення аналізу суворості для ледачого обчислення Ламбда ( абстрактна інтерпретація, логічні стосунки та розширення Кан ). Він також показав, що логічні відношення визначають функції абстракції в сенсі зв'язку Галуа в абстрактній інтерпретації. Зовсім недавно Backhouse та Backhouse показали, як конструювати з'єднання Galois для типів вищого порядку з підключень Galois для базових типів і що ці конструкції можна описати в рівній мірі за допомогою логічних відносин ( Logical Relations and Galois Connections ). Таким чином, у конкретному контексті введених функціональних мов два поняття рівнозначні.

Симуляційні відносини характеризують збереження властивостей між структурами Крипке для різних модальних та часових логік. Замість типів ми маємо модальності в логіці. Симуляційні відносини також визначають зв'язки Галуа і, отже, абстракції. Можна запитати, чи мають ці абстракції особливі властивості. Відповідь полягає в тому, що стандартні абстракції - це звук, а абстракції на основі моделювання є завершеними. Поняття повноти стосується зв'язків Галуа, які можуть не узгоджуватися з інтуїтивно зрозумілим тлумаченням. Цю лінію роботи розробили Девід Шмідт ( Збереження структури для бінарних зв'язків для абстрагування програми ), Франческо Ранзато та Франческо Таппаро ( Узагальнене сильне збереження за абстрактним тлумаченням ).

Я б сказав, що ці два поняття дещо розпливчасті. І те й інше - про двійкові відносини обчислювальних механізмів, які якимось чином втілюють поняття рівності. Логічні відносини визначаються індукцією типової структури, тоді як моделювання можна визначити як завгодно, але термін натякає на спільну індукцію.

$\pi$