NP-твердість у спеціальному випадку розділення чисел

Розглянемо наступну проблему,

Враховуючи набір додатних чисел у яких - константа, ми хочемо розділити множину на підмножини розміром так, що добуток суми кожного підмножини максимізовано. $n = k m$ $\{ a_1, \dots, a_n \}$ $k \ge 3$ $m$ $k$

Проблема досить схожа на добре відомий розділ номерів -way, за винятком того, що у нас є обмеження на кількість чисел у кожному розділі. Для можна запропонувати наступний простий поліноміальний алгоритм, $m$ $k = 2$

які передбачають числа сортуються, тобто . Тоді для призначте підмножині , а призначте його підмножині . $a_1<a_2<...<a_n$ $i≤m$ $a_i$ $i$ $i>m$ $n−i+1$

Не важко зрозуміти, чому алгоритм працює. Просто виберіть дві довільні бункери. Будь-яка заміна чисел не збільшить кількість продукту.

Але для більших 's, мені цікаво, чи можна вирішити проблему в поліноміальний час чи ні? Я також буду вдячний, якщо хтось може показати, що це твердість np. $k$

Примітка. Я зіткнувся з проблемою, коли працював над проблемою планування в бездротових мережах. Я знайшов хороший евристичний алгоритм для вирішення проблеми. Але через деякий час я подумав, що проблема може бути теоретично цікавою.

— Гелій
джерело

k = 2

$k=2$

@Mohsen, спасибі Я б запропонував вам включити ці коментарі щодо мотивації, передумови та того, що ви знаєте про випадок k = 2 у питанні. Це, мабуть, зробить це цікавішим для інших.

— Каве

Моя інтуїція полягає в тому, що добуток суми кожного підмножини максимальний, коли суми рівні або максимальна попарна різниця мінімальна. Згідно з цим припущенням, ми отримуємо легке зменшення з 3-х розділів, що є NP-повним (для k = 3).

— Мохаммед Аль-Туркстані

(Я видалив два коментарі, які я опублікував кілька годин тому, щоб переписати їх більш точно.) Як запропонував туркістанець, проблема k-розділів може бути усунена до цієї проблеми, і тому ця проблема є NP-важкою для кожної постійної k≥3. Єдиною відповідною властивістю є те, що максимум добутку сум становить щонайменше (∑a_i / k) ^ m тоді і лише тоді, коли числа можна розділити на m множин з розміром k, сума яких дорівнює. Продукт не завжди максимізується розділом, який мінімізує максимальну попарну різницю, але це не має значення, якщо ми вважаємо точну проблему. (детальніше)

— Цуйосі Іто

(продовження) Якщо вам потрібно, щоб вхід був набором замість мультисети , це зменшення все ще працює, оскільки проблема k-розділів залишається NP-повною навіть із набором, але будьте обережні, оскільки стандартне доведення NP-повноти 3-роздільної проблеми працює лише тоді, коли вхід має містити одне ціле число більше одного разу. Дивіться складність обчислювальної задачі на 3 розділи з різними числами (обережно: самореклама).

— Цуйосі Іто

(Це трохи більш детальна версія моїх коментарів до цього питання.)

Як запропонував туркістанець у коментарі до цього питання, ця проблема є важкою для кожної постійної k ≥3, зменшуючи від k -роздільної задачі. Скорочення зовсім не змінює екземпляри: просто зауважте, що максимум добутку сум становить щонайменше (∑ a _i / k ) ^m тоді і лише тоді, коли числа можна розділити на m множини з розміром k , сума яких становить всі рівні.

Зауважимо, що вхід до проблеми k -розділу зазвичай визначається кілометровими числами, які можуть бути не всі виразними , і це важливо в стандартному доказі його NP-повноти (наприклад, у Гарі та Джонсона ). Отже, зменшення вище лише доводить NP-твердість незначного узагальнення поточної проблеми, коли входом дозволено бути мультисетом замість набору. Однак цей проміжок може бути заповнений, оскільки проблема k -розділу залишається NP-повною, навіть якщо цифри на вході повинні бути різними; див. [HWW08] у випадку k = 3 (див. також відповідь Сержа Гасперсадо іншого питання), яке можна легко змінити для більших значень k .

Крім того, все, що зазначено тут, залишається NP-повним / NP-жорстким навіть тоді, коли цифри на вводі задані неоднаково.

[HWW08] Хезер Хюлетт, Тодд У. Вілл, Герхард Дж. Уогенгер. Мультиграфічна реалізація ступеневих послідовностей: Максимізація проста, мінімізація - важка. Листи з дослідження операцій , 36 (5): 594–596, вересень 2008 р. Http://dx.doi.org/10.1016/j.orl.2008.05.004

— Цуйосі Іто
джерело