Упаковка прямокутників у опуклі багатокутники, але без обертів

Мене цікавить проблема упаковки однакових копій (2-х мірних) прямокутників у опуклий (двовимірний) багатокутник без перекриттів. У моїй проблемі вам заборонено обертати прямокутники, і ви можете вважати, що вони орієнтовані паралельно осям. Ви щойно давали розміри прямокутника та вершини багатокутника і запитували, скільки однакових копій прямокутника можна упакувати в багатокутник. Якщо вам дозволено обертати прямокутники, я вважаю, що ця проблема є важкою для NP. Однак що відомо, якщо ви не можете? Як щодо того, якщо опуклий багатокутник є просто трикутником? Чи відомі алгоритми наближення, якщо проблема справді непроста?

Підсумок до цього часу (21 березня '11). Пітер Шор зауважує, що ми можемо розглядати цю проблему як одну з упаковки одиничних квадратів у опуклий багатокутник і що ця проблема є NP, якщо ви накладете поліном, обмежений кількістю квадратів / прямокутників, які потрібно упакувати. Саріель Хар-Пелед вказує, що існує той самий ПТСС для того ж поліноміально обмеженого випадку. Однак загалом кількість упакованих квадратів може бути експоненціальним у розмірі вхідних даних, який складається лише з можливого короткого списку пар цілих чисел. Наступні питання видаються відкритими.

Чи є в НП повна необмежена версія? Чи існує PTAS для безмежної версії? Чи є поліноміально обмежений випадок у P або NPC? І мій особистий фаворит, чи проблема легша, якщо ви просто обмежитеся упакувати квадрати одиниць у трикутник?

$L_\infty$$1$

$(1-\epsilon)$$O(1/\epsilon)$$O(M*noise(\epsilon))$$M$$noise(\epsilon)$$\epsilon$

Ці два документи вирішують вашу проблему:

Е.Г. Біргін та Р.Д. Лобато, " Ортогональна упаковка однакових прямокутників в ізотропних опуклих областях ", Комп'ютери та промислова техніка 59, стор. 595-602, 2010. 

Е.Г. Біргін, Дж. М. Мартинес, Ф. Ф. Нішіхара та Д. П. Ронконі, " Ортогональна упаковка прямокутних предметів у довільних опуклих областях шляхом нелінійної оптимізації ", Комп'ютери та дослідження операцій 33, с. 3535-3548, 2006.

Пітер Шор зауважив, що завдяки перерахунку масштабів ця проблема стає проблемою упаковки одиничних квадратів у опуклий багатокутник.

Редагувати: решта цієї відповіді не застосовується, оскільки вона скасовує чітко заявлену вимогу, щоб форми, які потрібно упакувати, були однакового розміру.

Пов'язане питання NP-Твердість особливого випадку проблеми ортогональної упаковки згадує папір з результатом, необхідним для першого питання:

• Розфасовуючи квадратики в квадрат, Джозеф Ю.Т. Leung, Tommy W. Tam, CS Wong, Gilbert H. Young, and Francis YL Chin, Журнал паралельних та розподілених обчислень 10 271–275. ( посилання )

З паперу:

ми показуємо, що проблема упаковки квадратних матеріалів сильно заповнена NP, зменшуючи проблему 3-х розділів.

Звідси проблема НП-важка навіть для особливого випадку, коли прямокутники, які потрібно упакувати, схожі на контейнер. (На відміну від авторів цього документу, я не повністю переконаний, що проблема полягає в NP, оскільки позиції, можливо, доведеться задати з великою точністю, що може призвести до того, що перевірка більше не буде поліномом у вхідному розмірі. )

Можливо, цей документ може зацікавити вас:

Плитка багатокутника з прямокутниками компанії Kenyon & Kenyon у FOCS 92.

Якщо багатокутник, в який потрібно упакувати, не обов'язково опуклий, то я думаю, що проблема стає NP-жорсткою. Ось дуже схематичний доказ. Скорочення пов'язане з деякою проблемою типу Planar-3-SAT. Для кожної змінної ви можете мати 1,1 х 1 місце, залежно від того, де в цій області ви розміщуєте один квадрат, буде визначено, чи відповідає ваша змінна помилковою. Крім того, якщо ви виходите з області .1 вліво / вправо, ви можете перемістити два інші квадрати трохи більше всередині, а також ті, що знаходяться за ними, врешті-решт, надавши ще один .1 вільний простір десь в іншому місці, який зараз впливає на чотири квадрати тощо. Після того, як у вас буде стільки копій, скільки зустрічається відповідний літерал, ви підключаєте ці трубки до відповідного компонента пункту і знову використовуєте подібний гаджет, щоб переконатися, що з трьох вхідних трубок принаймні одна повинна мати додатковий простір .1.