Поліноміальні алгоритми для UPB (нерозширювані бази продуктів)

Розглянемо простір Гільберта . Основа нерозширюваного продукту (UPB) - це набір векторів продуктів таким чином, що:$H = H_1 \otimes \dots \otimes H_n$$\vert v_i \rangle = \vert v_i^1 \rangle \otimes \dots \otimes \vert v_i^n \rangle$

а) всі взаємно ортогональні$\vert v_i \rangle$

б) для всіх немає ортогонального векторного продукту$\vert v_i \rangle$

в) основа нетривіальна, тобто не охоплює$H$

(такі бази цікавлять квантову інформацію)

Запитання:

1. Чи існує поліноміальний алгоритм (в ) для пошуку UPB? (зауважте, що взагалі немає верхньої межі щодо розміру UPB, тому апріорі це може бути експоненціальним у )$n$$n$

2. Чи існує поліноміальний алгоритм для перевірки, чи дана основа продукту є UPB? (тобто є нерозбірливим)

Або проблема NP-повна?

Я трохи збентежений питанням (1). Невичерпна база продуктів існує в Росії$H_1 \otimes H_2 \otimes \ldots \otimes H_n$ якщо $n\geq 3$ або якщо $n=2$ і $\dim H_1, \dim H_2 \geq 3$. У всіх цих випадках знайти його нескладно.

Для запитання (2) питання еквівалентно перевірці, чи є в підпросторі стан тензорного продукту, який є доповненням простору, що охоплюється основою. Леонід Гурвіц показав, що перевірка того, чи містить загальний підпростір стан тензорного продукту, є важким для NP, тому я підозрюю, що і в цьому випадку важко.

Повна класифікація відома також для іншого простого випадку 3x3, про це вперше йдеться у статті http://arxiv.org/abs/quant-ph/9808030 .

Результат також пов'язаний з побудовою довільних 3x3 PPT заплутаних станів четвертого рангу. Дивіться папір

http://arxiv.org/abs/1105.3142 .